Wielomiany — twierdzenie Bézouta

SKŁADOWE

Trzy narzędzia

Rozpoznajemy wielomiany (najczęściej 3. stopnia) ze sparametryzowanym współczynnikiem lub współczynnikami. Cel jest zawsze ten sam: wyznaczyć parametr(y), rozłożyć wielomian na czynniki i odczytać pierwiastki.

SKŁADOWATrzy twierdzenia: pierwiastki całkowite, wymierne i Bézout

1 · Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego.

W praktyce: chcąc zgadnąć pierwiastek wielomianu, sprawdzasz $W (d)$ , gdzie $d$ przebiega dzielniki wyrazu wolnego.

2 · Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych

Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne, to są one ilorazami: dzielnik wyrazu wolnego przez dzielnik współczynnika wiodącego (ułamek nieskracalny).

W praktyce: gdy całkowitych pierwiastków nie ma, sprawdzasz ułamki $W (\frac{d _{0}}{d _{a}})$ , gdzie $d_{0}$ to dzielniki wyrazu wolnego, a $d_{a}$ – dzielniki współczynnika wiodącego, czyli liczby przy najwyższej potędze $x$ .

3 · Twierdzenie Bézouta (o reszcie)

Reszta z dzielenia $W (x)$ przez dwumian $(x - a)$ jest równa $W (a)$ . Stąd dwie sytuacje:

Dzielenie bez reszty. Jeśli $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W$ , to dwumian liniowy $(x - a)$ dzieli $W$ bez reszty. Równoważnie: wielomian i dwumian liniowy dzielą się bez reszty, gdy mają wspólne miejsce zerowe. Równoważnie: jeśli $W$ dzieli się przez $(x - a)$ bez reszty, to punkt $A (a, 0)$ należy do wykresu $W$ .

Dzielenie z resztą. Jeśli wielomian $W$ dzieli się przez dwumian liniowy $(x - a)$ z resztą $b$ , to punkt o współrzędnych $A (a, b)$ należy do wykresu wielomianu $W$ .

SKŁADOWADzielenie wielomianów – pisemne i Horner krok po kroku

4 · Dzielenie wielomianów

Obniża stopień: po znalezieniu pierwiastka $a$ dzielimy $W (x)$ przez $(x - a)$ i dalej pracujemy z ilorazem (zwykle już trójmianem). Obie metody na tym samym przykładzie: $(2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6) : (x - 3)$ .

Sposób 1 – dzielenie pisemne. Rytm: DZIEL → MNÓŻ → ODEJMIJ → SPISZ, aż stopień reszty spadnie poniżej stopnia dzielnika.

Dziel najwyższe wyrazy

2 x^{3} : x = 2 x^{2}

– to pierwszy wyraz ilorazu.

Mnóż i odejmij

2 x^{2} \cdot (x - 3) = 2 x^{3} - 6 x^{2}

. Odejmujesz od dzielnej i spisujesz dalsze wyrazy – zostaje

3 x^{2} - 11 x + 6

Powtórz cykl

3 x^{2} : x = 3 x

;

3 x \cdot (x - 3) = 3 x^{2} - 9 x

; po odjęciu zostaje

- 2 x + 6

Ostatni cykl i reszta

- 2 x : x = - 2

;

- 2 \cdot (x - 3) = - 2 x + 6

; po odjęciu zostaje

0

– to jest reszta. Iloraz:

2 x^{2} + 3 x - 2

Sposób 2 – schemat Hornera. Mantra: pomnóż przez $a$ , dodaj następny współczynnik. Wypisz współczynniki w kolejności malejących potęg (brakującą potęgę uzupełnij zerem!), z boku $a = 3$ :

	2	−3	−11	6
3		6	9	−6
	2	3	−2	0

Pierwszy spada bez zmianPod kreskę przepisujesz

2

Pomnóż, dodaj

2 \cdot 3 = 6

;

6 + (- 3) = 3

Pomnóż, dodaj

3 \cdot 3 = 9

;

9 + (- 11) = - 2

Pomnóż, dodaj – reszta

(- 2) \cdot 3 = - 6

;

- 6 + 6 = 0

– ostatnia liczba dolnego wiersza to reszta.

OdczytDolny wiersz bez ostatniej liczby to współczynniki ilorazu – stopień o

1

niższy:

2 x^{2} + 3 x - 2

. Reszta

0

, więc

3

jest pierwiastkiem.

Obie drogi prowadzą do tego samego:

2 x^{3} - 3 x^{2} - 11 x + 6 = (x - 3) (2 x^{2} + 3 x - 2) = (x - 3) (2 x - 1) (x + 2)

METODA

Krok 1 – policz parametry

Liczba i typ parametrów mówią, ile informacji potrzeba. Każda informacja z treści to jeden punkt na wykresie: z podzielności bez reszty $W (a) = 0$ , z reszty $W (a) = r$ .

SKŁADOWAIle informacji potrzeba – trzy konfiguracje parametrów

Jeden parametr liniowy – jedna informacja

Jeden punkt bierzemy z treści: albo z podzielności bez reszty (

W (a) = 0

), albo z reszty (

W (a) = r

); po podstawieniu wyznaczamy parametr. Dalej: była podzielność przez

(x - a)

– dzielimy przez nią i pierwiastki trójmianu liczymy z delty; była tylko reszta – jednego pierwiastka szukamy twierdzeniem o pierwiastkach wymiernych, dzielimy i faktoryzujemy.

Dwa parametry liniowe – dwie informacje

Dwie informacje dają układ dwóch równań liniowych; z niego oba współczynniki, więc cały wielomian. Pierwiastki – jak wyżej.

Jeden parametr, ale wyższego stopnia

Ukryty w dzielniku

(x - m)

albo wchodzący jako

m^{3}

– jedna informacja daje równanie wyższego stopnia w parametrze, więc kilku kandydatów. Wtedy albo druga informacja wskazuje właściwą wartość, albo rozpatrujemy przypadki.

Wielomiany 2 – Bézout i dzielenie — teoria i metoda: Wyznaczanie i rozkładwielomianów