Wielomiany 2 – Bézout i dzielenie — zadania maturalne: Wyznaczanie i rozkład wielomianów
Bézout, pierwiastki wymierne i dzielenie: wyznaczamy parametry, rozkładamy wielomian na czynniki i odczytujemy pierwiastki.
9zadań maturalnych
9z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Pod treścią każdego zadania podany jest kluczowy krok – rekonstrukcja, równanie albo układ, od którego zaczyna się rozwiązanie. Pełne rozwiązanie i odpowiedź w kluczu.
Jak ćwiczyć: najpierw sam zdecyduj, skąd wziąć informacje i jak zacząć, potem porównaj z przyciskiem KROK. Pełne rozwiązanie i odpowiedź – pod przyciskiem KLUCZ.
Zakres: rekonstrukcja z ilorazu i reszty, punkt z podzielności lub reszty, układy dwóch równań, parametr wyższego stopnia.
Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x−1) otrzymujemy iloraz Q(x)=8x2+4x−14 oraz resztę R(x)=−5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x).
ODTWÓRZ WIELOMIAN Z DZIELENIA
W(x)=(x−1)(8x2+4x−14)−5, a potem grupowanie daje (2x−1)(4x2−9).
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 1+1+2
1
+1 PKTETAP I · WIELOMIAN Z WARUNKÓW DZIELENIAW(x)=(x−1)(8x2+4x−14)−5
2
+1 PKTETAP II · POSTAĆ UPORZĄDKOWANAW(x)=8x3−4x2−18x+9
3
+2 PKTETAP III · PIERWIASTKI⇒W(x)=(2x−1)(4x2−9)x1=−23,x2=21,x3=23Wewnątrz czynności: 1 pkt za samą postać iloczynu czynnika liniowego i kwadratowego (np. (2x−1)(4x2−9)) bez pierwiastków lub z błędami w ich wyznaczaniu.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x3−5x2−23x+m przez dwumian x+1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.
RESZTA TO WARTOŚĆ W PUNKCIE
Reszta z dzielenia przez x+1 to W(−1) — stąd m bez żadnego dzielenia.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTRÓWNANIE Z TWIERDZENIA O RESZCIE4⋅(−1)3−5⋅(−1)2−23⋅(−1)+m=20
2
2 PKTWSPÓŁCZYNNIK WYZNACZONYm=6
3
3 PKTPIERWIASTEK I ILORAZ KWADRATOWYWskazany pierwiastek i wykonane dzielenie: W(x)=(x+2)(4x2−13x+3)alboW(x)=(x−3)(4x2+7x−2)ALBO postać iloczynowa z niewiadomym czynnikiem, np. W(x)=(x+2)(x−3)(4x+a).
Liczba 52 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=5x3−7x2−3x+p. Wyznacz pozostałe pierwiastki tego wielomianu i rozwiąż nierówność W(x)>0.
PIERWIASTEK DAJE p, POTEM DZIELISZ
Z W(52)=0 wyliczasz p, a następnie dzielisz przez (5x−2).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWARUNEK NA PIERWIASTEKZapisanie, że W(52)=0.
2
2 PKTWYZNACZENIE PARAMETRUZ_tego warunku p=2, więc W(x)=5x3−7x2−3x+2.
3
3 PKTDZIELENIE WIELOMIANUIloraz z_dzielenia przez (x−52):5x2−5x−5
4
4 PKTPOZOSTAŁE PIERWIASTKITrójmian 5(x2−x−1) ma pierwiastki:x=21−5orazx=21+5
5
5 PKTROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI — ODPOWIEDŹWielomian stopnia trzeciego o_dodatnim współczynniku wiodącym jest dodatni na:x∈(21−5,52)∪(21+5,∞)
4matura · maj 2019 · zad. 13. i 6. · 6 i 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015
Wielomian określony wzorem W(x)=2x3+(m3+2)x2−11x−2(2m+1) jest podzielny przez dwumian (x−2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x+1) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≤0.
DWA WARUNKI, JEDEN PARAMETR
W(2)=0 i W(−1)=6 to układ na m — bierzesz część wspólną obu zbiorów.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 4+2
1
+1 PKTETAP I · PIERWSZE RÓWNANIEW(2)=0:4m3−4m=0alboW(−1)=6:m3−4m+3=0
2
+2 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · OBA RÓWNANIA ALBO JEDNO ROZWIĄZANEOba równania układu — ALBO jedno z nich rozwiązane: m∈{−1,0,1} (pierwsze) czy m∈{1,2−1−13,2−1+13} (drugie).
3
+3 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · UKŁAD ROZPRACOWANYOba równania i przynajmniej jedno rozwiązane — ALBO odjęcie równań układu stronami: (4m3−4m)−(m3−4m+3)=0, tj. 3m3−3=0 — z wnioskiem m=1 bez komentarza.
4
+4 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · JEDYNOŚĆKomentarz, że m=1 spełnia OBA równania i jest jedynym takim: m=1
5
+1 PKTETAP II · PIERWIASTKI WIELOMIANUW(x)=2x3+3x2−11x−6=(x−2)(2x+1)(x+3)pierwiastki: −3, −21, 2.
6
+2 PKTETAP II (ŁĄCZNIE) · NIERÓWNOŚĆ — ODPOWIEDŹW(x)≤0⇔x∈(−∞,−3⟩∪⟨−21,2⟩
!
3 PKTCKEZERO ZA ETAP ISamo „m=1” po zapisaniu układu, bez komentarza o jedyności. Błędna interpretacja warunków (np. W(−2)=0 i W(1)=6) zeruje etap I.
!
0 PKTCKEZERO ZA ETAP IIWielomian otrzymany z błędów, mający co najwyżej dwa różne pierwiastki. Trzy różne pierwiastki bez dwójki — najwyżej 1 pkt za etap II przy konsekwencji.
Dany jest wielomian W(x)=2x3+ax2−13x+b. Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki a i b oraz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x).
DWA WARUNKI, DWIE NIEWIADOME
W(3)=0 i W(−2)=20 dają układ na a,b; potem dzielisz przez (x−3).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN Z WARUNKÓWPierwiastek daje W(3)=0, a_twierdzenie o_reszcie — W(−2)=20:54+9a−39+b=0albo−16+4a+26+b=20
2
2 PKTUKŁAD RÓWNAŃZapisanie obu warunków jednocześnie — układu z_niewiadomymi a i_b.
3
3 PKTWSPÓŁCZYNNIKIRozwiązanie układu:a=−5,b=30
4
4 PKTROZKŁAD NA CZYNNIKIDla W(x)=2x3−5x2−13x+30 dzielenie przez (x−3) daje:W(x)=(x−3)(2x2+x−10)
5
5 PKTPOZOSTAŁE PIERWIASTKI — ODPOWIEDŹTrójmian 2x2+x−10 ma pierwiastki:x=2orazx=−25
Reszty z dzielenia wielomianu W(x)=x4+bx3+cx2 przez dwumiany (x−2) i (x−3) są odpowiednio równe (−8) oraz (−18). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x−4).
SZUKANA RESZTA TO W(4)
Z W(2)=−8 i W(3)=−18 wyliczasz b,c, a reszta przez (x−4) to po prostu W(4).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTTWIERDZENIE O RESZCIEZapisanie warunków W(2)=−8 oraz W(3)=−18.
Wielomian określony wzorem W(x)=2x3+(m3+2)x2−11x−2(2m+1) jest podzielny przez dwumian (x−2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x+1) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≤0.
DWA WARUNKI, JEDEN PARAMETR
W(2)=0 i W(−1)=6 to układ na m — bierzesz część wspólną obu zbiorów.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 4+2
1
+1 PKTETAP I · PIERWSZE RÓWNANIEW(2)=0:4m3−4m=0alboW(−1)=6:m3−4m+3=0
2
+2 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · OBA RÓWNANIA ALBO JEDNO ROZWIĄZANEOba równania układu — ALBO jedno z nich rozwiązane: m∈{−1,0,1} (pierwsze) czy m∈{1,2−1−13,2−1+13} (drugie).
3
+3 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · UKŁAD ROZPRACOWANYOba równania i przynajmniej jedno rozwiązane — ALBO odjęcie równań układu stronami: (4m3−4m)−(m3−4m+3)=0, tj. 3m3−3=0 — z wnioskiem m=1 bez komentarza.
4
+4 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · JEDYNOŚĆKomentarz, że m=1 spełnia OBA równania i jest jedynym takim: m=1
5
+1 PKTETAP II · PIERWIASTKI WIELOMIANUW(x)=2x3+3x2−11x−6=(x−2)(2x+1)(x+3)pierwiastki: −3, −21, 2.
6
+2 PKTETAP II (ŁĄCZNIE) · NIERÓWNOŚĆ — ODPOWIEDŹW(x)≤0⇔x∈(−∞,−3⟩∪⟨−21,2⟩
!
3 PKTCKEZERO ZA ETAP ISamo „m=1” po zapisaniu układu, bez komentarza o jedyności. Błędna interpretacja warunków (np. W(−2)=0 i W(1)=6) zeruje etap I.
!
0 PKTCKEZERO ZA ETAP IIWielomian otrzymany z błędów, mający co najwyżej dwa różne pierwiastki. Trzy różne pierwiastki bez dwójki — najwyżej 1 pkt za etap II przy konsekwencji.
Wielomian określony wzorem W(x)=2x3+(m3+2)x2−11x−2(2m+1) jest podzielny przez dwumian (x−2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x+1) daje resztę 6. Oblicz m oraz pierwiastki wielomianu W(x) dla wyznaczonej wartości m.
DWA WARUNKI BÉZOUTA, POTEM ROZKŁAD
Z układu W(2)=0, W(−1)=6 wyznaczasz m, a potem dzielisz przez (x−2).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN Z WARUNKÓWPodzielność przez (x−2) oznacza W(2)=0; reszta 6 z_dzielenia przez (x+1) oznacza W(−1)=6.
2
2 PKTOBA RÓWNANIA Z PARAMETREMZapisanie obu warunków:4m3−4m=0orazm3−4m+3=0
3
3 PKTROZWIĄZANIE JEDNEGO Z RÓWNAŃPierwsze daje m∈{−1,0,1}, drugie — m=1 oraz m=2−1±13.
4
4 PKTWSPÓLNA WARTOŚĆ PARAMETRUJedyną wartością spełniającą oba warunki jest m=1, więc W(x)=2x3+3x2−11x−6.
5
5 PKTMIEJSCA ZEROWE — ODPOWIEDŹPo podzieleniu przez (x−2) i_rozłożeniu:x=2,x=−3,x=−21