Wartość bezwzględna – wprowadzenie: teoria i metoda

SKŁADOWE

Cztery tożsamości i definicja

Rozważamy wyrażenia postaci $a ∣ x - p ∣ \pm b ∣ x - q ∣$ – sumy i różnice modułów funkcji liniowych – w relacji ( $=, <, >, \leq, \geq$ ) z liczbą albo z wyrażeniem zawierającym $x$ . Zanim zaczniemy opuszczać moduły, każdy z nich upraszczamy.

SKŁADOWATożsamości 1–2: symetria różnicy i moduł iloczynu

Symetria różnicy

Moduł różnicy nie zależy od kolejności

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣

W środku modułu ustawiamy funkcję rosnącą ( $x - p$ zamiast $p - x$ ): $∣2 - x ∣ = ∣ x - 2∣$ .

Moduł iloczynu

Moduł iloczynu to iloczyn modułów

∣ a \cdot b ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣

W szczególności wyłączamy stałą przed moduł: $∣2 x + 4∣ = ∣2∣ \cdot ∣ x + 2∣ = 2 ∣ x + 2∣$ .

SKŁADOWATożsamości 3–4: stała przed modułem i

a^{2} = ∣ a ∣

Stała przed modułem

Bez zmiany – tylko liczba dodatnia

∣ - 3 x + 6∣ = ∣ - 3∣ \cdot ∣ x - 2∣ = 3 ∣ x - 2∣

Dla ujemnej zostaje jej moduł: $∣6 - 3 x ∣ = 3 ∣ x - 2∣$ , $∣2 - x ∣ = ∣ x - 2∣$ .

Pierwiastek jako moduł

Pierwiastek z kwadratu to moduł

a^{2} = ∣ a ∣ dla ka \overset{z}{˙} dego a \in R

$x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2} = ∣ x - 3∣$ – zadania „z pierwiastkiem” stają się zadaniami „z modułem”.

SKŁADOWADefinicja: moduł czyta znak wyrażenia

Definicja (przez znak)

Moduł czyta znak wyrażenia

∣ g (x) ∣ = {g (x), - g (x), gdy g (x) \geq 0 (nad osi ą) gdy g (x) < 0 (pod osi ą)

Nad osią moduł znika bez śladu, pod osią zmienia znak całego wyrażenia.

METODA

Sześć kroków

Miejsca zerowe dzielą oś na przedziały – w każdym z nich moduły znikają. Zostaje zwykłe równanie lub nierówność liniowa, a rozwiązaniem całości jest suma rozwiązań ze wszystkich przypadków.

1

Normalizacja

Każdy moduł upraszczamy własnościami ze Składowych (wyłączamy stałą dodatnią, $∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$ ), a pierwiastki z kwadratów zupełnych zamieniamy na moduły. Postać docelowa: suma/różnica modułów funkcji liniowych w relacji z liczbą lub wyrażeniem zawierającym $x$ .
2

Miejsca zerowe

Zaznaczamy na osi miejsca zerowe wyrażeń spod modułów.
3

Szkic

Szkicujemy wykresy tych funkcji liniowych, żeby widzieć, gdzie każda jest nad, a gdzie pod osią.
4

Przypadki

Miejsca zerowe dzielą oś na przedziały – dwa moduły dają trzy przypadki (ogólnie: liczba różnych miejsc zerowych plus jeden). W każdym przedziale opuszczamy każdy moduł: zgodnie – $∣ f ∣ = f$ , gdy funkcja jest nad osią, albo ze zmianą znaku – $∣ f ∣ = - f$ , gdy jest pod osią.
5

Rozwiązanie w przedziale

W każdym przypadku rozwiązujemy powstałe równanie lub nierówność i przecinamy wynik z przedziałem (to dziedzina tego przypadku).
6

Suma

Rozwiązaniem całości jest suma rozwiązań ze wszystkich przypadków.

Przykład

Nierówność $∣ x + 2∣ + ∣ x - 3∣ \leq 7$ ; miejsca zerowe $- 2$ i $3$ – trzy przypadki:

$f (x) = x + 2$ zmienia znak w $- 2$ , $g (x) = x - 3$ – w $3$ : stąd trzy przedziały.

x < - 2

f i g pod osią:

- f - g \leq 7

, czyli

- (x + 2) - (x - 3) \leq 7 \Rightarrow - 2 x + 1 \leq 7 \Rightarrow x \geq - 3

[- 3, - 2)

- 2 \leq x < 3

f nad, g pod osią:

f - g \leq 7

, czyli

(x + 2) - (x - 3) \leq 7 \Rightarrow 5 \leq 7

– zawsze prawda

[- 2, 3)

x \geq 3

f i g nad osią:

f + g \leq 7

, czyli

(x + 2) + (x - 3) \leq 7 \Rightarrow 2 x - 1 \leq 7 \Rightarrow x \leq 4

[3, 4]

Suma przypadków:

x \in [- 3, 4]

Wartość bezwzględna — teoria i metoda: Wartość bezwzględna

Cztery tożsamości i definicja

Symetria różnicy

Moduł iloczynu

Stała przed modułem

Pierwiastek jako moduł

Definicja (przez znak)

Sześć kroków

Przykład