Wartość bezwzględna — zadania maturalne: Wartość bezwzględna
Sumy i różnice modułów funkcji liniowych a∣x−p∣±b∣x−q∣ w relacji z liczbą albo z wyrażeniem – cztery tożsamości, jedna metoda, komplet zadań z kluczem.
17zadań maturalnych
17z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Wszystkie zadania maturalne z rozdziału, które mieszczą się w tym typie. Numeracja 5.x odsyła do rozdziału repetytorium.
Jak ćwiczyć: znormalizuj moduły, sam wyznacz miejsca zerowe i przypadki – pełne rozwiązanie i odpowiedź sprawdzisz pod przyciskiem KLUCZ.
Zakres: moduły funkcji liniowych wprost w treści – zera, przypadki, suma rozwiązań.
Moduły łamią się w x=−2 i x=1 — rozbij oś na trzy przedziały.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY ALBO CZTERY PRZYPADKI(−∞,−2),⟨−2,1),⟨1,+∞)ALBO cztery przypadki znaków wyrażeń 2x+4 i x−1 (jeden okaże się niemożliwy).
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI BEZ MODUŁÓWI: (−2x−4)+(−x+1)≤6,II: (2x+4)+(−x+1)≤6,III: (2x+4)+(x−1)≤6
3
3 PKTWYNIK Z USTERKAMIDwa przypadki rozliczone poprawnie z częściami wspólnymi, błąd w trzecim i konsekwentny finał ALBO tylko dwa przedziały rozliczone z częściami wspólnymi i konsekwentne doprowadzenie do końca. Poprawne cząstki: ⟨−3,−2), ⟨−2,1), {1}.
4
4 PKTSUMA CZĘŚCI — ODPOWIEDŹx∈⟨−3,1⟩
+
CKEPRZYPIS · DROGA GRAFICZNA (Z KLUCZA)Wykres f(x)=∣2x+4∣+∣x−1∣ kawałkami: −3x−3, x+5, 3x+3, oraz prosta y=6 — progi: przedziały 1 pkt, wzór kawałkami 2 pkt, wykresy 3 pkt, odczyt x∈⟨−3,1⟩ 4 pkt.
Moduły łamią się w x=−1 i x=2 — rozbij oś na trzy przedziały.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY ALBO CZTERY PRZYPADKI(−∞,−1),⟨−1,2),⟨2,+∞)ALBO cztery przypadki znaków wyrażeń 2x+2 i x−2 (jeden okaże się niemożliwy). Błąd w przedziałach lub przypadkach — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ.
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI BEZ MODUŁÓWI: (−2x−2)+(−x+2)>5,II: (2x+2)+(−x+2)>5,III: (2x+2)+(x−2)>5Rozwiązanie nierówności w przedziałach bez wyznaczenia części wspólnych — sufit 2 pkt.
3
3 PKTWYNIK Z USTERKAMIDwa przypadki rozliczone poprawnie z częściami wspólnymi, błąd w trzecim i konsekwentny finał. Poprawne cząstki: x<−35, przedział (1,2), przedział ⟨2,+∞).
4
4 PKTSUMA CZĘŚCI — ODPOWIEDŹx∈(−∞,−35)∪(1,+∞)
!
CKEOSTRE PRZEDZIAŁY I ZGUBIONY MODUŁRozpatrzenie WSZYSTKICH przedziałów podziału jako otwartych — 1 pkt mniej za całe zadanie. Błąd przy przekształcaniu treści (np. 2x+2+(x−2) zamiast ∣2x+2∣+∣x−2∣) — 1 pkt mniej w każdej kategorii.
+
CKEPRZYPIS · TRZY DROGI GRAFICZNE (Z KLUCZA)Wykres f(x)=∣2x+2∣+∣x−2∣ i prosta y=5; albo ∣2x+2∣ kontra −∣x−2∣+5; albo ∣x−2∣ kontra −∣2x+2∣+5 — odczyt odciętych przecięć x=−35 i x=1; progi 1/2/3/4 (błędna jedna odcięta i konsekwentny finał — 3 pkt).
Łamania w x=2 i x=5; pusty przedział środkowy to nie błąd, tylko wynik.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY ALBO CZTERY PRZYPADKI(−∞,2),⟨2,5),⟨5,+∞)ALBO cztery przypadki znaków wyrażeń 2x−4 i x−5 (jeden okaże się niemożliwy).
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI BEZ MODUŁÓWI: (−2x+4)+(−x+5)≥12,II: (2x−4)+(−x+5)≥12,III: (2x−4)+(x−5)≥12
3
3 PKTWYNIK Z USTERKAMIDwa przypadki rozliczone poprawnie z częściami wspólnymi, błąd w trzecim i konsekwentny finał. Poprawne cząstki: x≤−1, sprzeczność w środku, x≥7.
4
4 PKTSUMA CZĘŚCI — ODPOWIEDŹx∈(−∞,−1⟩∪⟨7,+∞)
!
CKEPRZEDZIAŁY, OSTRE, ZGUBIONY MODUŁBłąd w przedziałach lub przypadkach (poza konsekwencją wcześniejszego błędu rachunkowego) — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. Wszystkie nierówności na ostro — 1 pkt mniej za zadanie. Rozwiązanie w przedziałach bez części wspólnych — sufit 2 pkt. Błąd przy przekształcaniu treści (np. 2(x−4) zamiast ∣2x−4∣) — 1 pkt mniej w każdej kategorii.
Łamania w x=−1 i x=2, a 3x−3 nie ma modułu — nie rozbijaj jej na przypadki.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY WYRÓŻNIONE(−∞,−1),⟨−1,2),⟨2,+∞)(liczby −1 i 2 wolno włączyć do dowolnych z ograniczonych nimi przedziałów).
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI BEZ MODUŁÓWI: (2−x)+(−x−1)≥3x−3,II: (2−x)+(x+1)≥3x−3,III: (x−2)+(x+1)≥3x−3
3
3 PKTWYNIK Z USTERKAMIWszystkie trzy nierówności rozwiązane i części wspólne wyznaczone w dwóch przypadkach, błąd w trzecim i konsekwentny finał ALBO dwa przedziały rozliczone poprawnie z częściami wspólnymi i konsekwentne doprowadzenie do końca. Poprawne cząstki: (−∞,−1), ⟨−1,2), {2}.
4
4 PKTSUMA CZĘŚCI — ODPOWIEDŹx∈(−∞,2⟩
!
CKEPRZEDZIAŁY I OSTRE NIERÓWNOŚCIBłąd w wyznaczaniu przedziałów — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. Rozpatrzenie wszystkich przedziałów jako otwartych — 1 pkt mniej za całe zadanie. Rozwiązanie nierówności w przedziałach bez wyznaczenia części wspólnych — sufit 2 pkt.
+
CKEPRZYPIS · INNE DROGI Z KLUCZACztery przypadki znaków obu wyrażeń podmodułowych — progi analogiczne (błędny którykolwiek przypadek — 0 pkt; jeden okaże się sprzeczny). Droga graficzna: wykres f(x)=∣x−2∣+∣x+1∣ i prosta y=3x−3 (kawałki −2x+1, 3, 2x−1) albo wykres różnicy (−5x+4, −3x+6, −x+2) — 3 pkt za poprawne wykresy, 4 pkt za odczyt.
Łamania w x=−4 i x=25 — w każdym kawałku zostaje nierówność liniowa.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY ALBO CZTERY PRZYPADKI(−∞,−4),⟨−4,25),⟨25,+∞)ALBO cztery przypadki znaków obu wyrażeń podmodułowych (2x−5 i x+4), z których jeden okaże się niemożliwy.
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI BEZ MODUŁÓWW każdym przedziale nierówność zapisana bez wartości bezwzględnej, np. dla x∈(−∞,−4): (5−2x)−(−x−4)≤2−2x
3
3 PKTDWA PRZEDZIAŁY DOBRZE, TRZECI Z BŁĘDEMDwa przedziały (przypadki) rozliczone poprawnie z częściami wspólnymi, błąd w trzecim i konsekwentne doprowadzenie do końca. Poprawne cząstki: x≤−7, −1≤x<25, 25≤x≤311.
4
4 PKTSUMA CZĘŚCI — ODPOWIEDŹx∈(−∞,−7⟩∪⟨−1,311⟩
!
CKEBŁĄD W SAMYCH PRZEDZIAŁACHBłędnie wyznaczone przedziały (albo błędnie zapisane cztery przypadki) — 0 pkt za całość. Rozpatrzenie wszystkich nierówności na ostro (przedziały otwarte) — 1 pkt mniej za całe zadanie.
Moduły łamią się w x=−7 i x=3 — rozbij oś na trzy przedziały.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPODZIAŁ OSI NA PRZEDZIAŁYMiejsca zerowe modułów to −7 i_3, więc rozpatrujemy przedziały (−∞,−7), ⟨−7,3) oraz ⟨3,∞).Klucz uznaje równolegle drogę przez cztery przypadki znaków obu wyrażeń podmodułowych. Błędne wyznaczenie przedziałów — 0 punktów za całość.
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI W PRZEDZIAŁACHW_kolejnych przedziałach: −3x≥18, −x≥4 oraz 3x≥16.
3
3 PKTCZĘŚCI WSPÓLNE Z PRZEDZIAŁAMIRozwiązania z_uwzględnieniem ograniczeń: x<−7, x∈⟨−7,−4⟩ oraz x≥316.Trzeci punkt klucz przewiduje też za poprawne dwa przypadki z_błędem w_trzecim i_konsekwentne dokończenie.
4
4 PKTZBIÓR ROZWIĄZAŃ — ODPOWIEDŹSuma otrzymanych zbiorów:x∈(−∞,−4⟩∪⟨316,∞)Rozpatrzenie wszystkich nierówności jako ostrych obniża wynik o_1 punkt.
10−2x nie jest stałą — w każdym przedziale porównujesz dwie funkcje liniowe.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPODZIAŁ OSI NA PRZEDZIAŁYMiejsca zerowe wyrażeń podmodułowych to 1 i_5, więc rozpatrujemy przedziały (−∞,1), ⟨1,5) oraz ⟨5,∞).Klucz uznaje równolegle drogę przez cztery przypadki znaków. Błędne wyznaczenie przedziałów — 0 punktów za całość.
2
2 PKTNIERÓWNOŚCI W PRZEDZIAŁACHPo opuszczeniu modułów w_kolejnych przedziałach:6≤10(x<1),2x≤6(1≤x<5),4x≤16(x≥5)
3
3 PKTCZĘŚCI WSPÓLNE Z PRZEDZIAŁAMIPierwsza nierówność jest zawsze prawdziwa (całe x<1), druga daje 1≤x≤3, trzecia nie ma rozwiązań w_swoim przedziale, bo x≤4<5.
4
4 PKTZBIÓR ROZWIĄZAŃ — ODPOWIEDŹSuma otrzymanych zbiorów:x∈(−∞,3⟩Rozpatrzenie wszystkich nierówności jako ostrych obniża wynik o_1 punkt.
+
CKEIII SPOSÓB · GRAFICZNIEKlucz honoruje wykresy: funkcja f(x)=∣x−1∣+∣x−5∣ jest stała i_równa 4 na ⟨1,5), a_poza tym liniowa; wystarczy odczytać odciętą punktu przecięcia z_prostą y=10−2x, czyli x=3. Uwaga klucza: trzeba zauważyć, że dla x≤1 oba wykresy są równoległe.
To równanie — pierwiastek spoza przedziału, w którym powstał, jest obcy.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPODZIAŁ OSI NA PRZEDZIAŁYMiejsca zerowe wyrażeń podmodułowych to −2 i_3, więc rozpatrujemy przedziały (−∞,−2), ⟨−2,3⟩ oraz (3,∞).Klucz uznaje równolegle drogę przez cztery przypadki znaków. Błędne wyznaczenie przedziałów — 0 punktów za całość.
2
2 PKTRÓWNANIA W PRZEDZIAŁACHPo opuszczeniu modułów w_kolejnych przedziałach:−3x−6=−x+3+11,3x+6=−x+3+11,3x+6=x−3+11
3
3 PKTROZWIĄZANIA I SPRAWDZENIE ZAŁOŻEŃKolejno x=−10 (należy do przedziału), x=2 (należy), x=1 (nie należy do (3,∞), więc odpada).
4
4 PKTODPOWIEDŹRównanie ma dwa rozwiązania:x=−10orazx=2Dopisanie x=1 do odpowiedzi obniża wynik do 3 punktów — klucz wymaga sprawdzenia, czy pierwiastek należy do rozpatrywanego przedziału.
Łamania w −3 i 2, a trzy przedziały muszą razem dawać całe R.
KLUCZ I · PRZEZ PRZEDZIAŁY
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY + JEDEN ROZPISANY(−∞,−3)[−3,2), [2,+∞) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez modułu w jednym z nich — ALBO jeden przedział wraz z rozwiązaniem w nim.
2
2 PKTWSZYSTKIE ROZPISANENierówność bez symbolu wartości bezwzględnej w każdym z trzech przedziałów.
3
3 PKTDWA PRZYPADKI ROZWIĄZANEx∈(−∞,−3): −x+2+2(x+3)<−2⇒x<−10, czyli (−∞,−10). x∈[−3,2): −x+2−2(x+3)<−2⇒x>−32, czyli (−32,2). x∈[2,+∞): x−2−2(x+3)<−2⇒x>−6, czyli całe [2,+∞).
4
4 PKTSUMA — ODPOWIEDŹx∈(−∞,−10)∪(−32,+∞)
!
MAX 3 PKTCKEPrzedziały nie wyczerpujące R (np. rozpatrzenie samych nierówności ostrych).
!
MAX 2 PKTCKEBłąd nierachunkowy przy zdejmowaniu modułu w jednym z przypadków, przy konsekwentnym dokończeniu zadania.
x∈(−∞,−10)∪(−32,+∞)
KLUCZ II · PRZEZ KONIUNKCJĘ NIERÓWNOŚCI
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJTA SAMA SKALA
2
2 PKTROZBICIE ∣x−2∣<…Z równoważności ∣u∣<c⇔u<c∧u>−c: x−2<−2+2∣x+3∣ oraz x−2>−(−2+2∣x+3∣), czyli ∣x+3∣>21x oraz ∣x+3∣>24−x.
3
3 PKTROZBICIE DRUGIEGO MODUŁUZ równoważności ∣u∣>c⇔u>c∨u<−c: (x+3>21x∨x+3<−21x) oraz (x+3>24−x∨x+3<−24−x).
4
4 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹ(x>−6∨x<−2) oraz (x>−32∨x<−10). Pierwsza koniunkcja to całe R, więc zostaje x∈(−∞,−10)∪(−32,+∞).
!
MAX 3 PKTCKEPRZY DRODZE GRAFICZNEJOdczytanie zbioru z wykresów f(x)=∣x−2∣ i g(x)=2∣x+3∣−2 bez sprawdzenia rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia (−10 i −32).
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=x∣x+3∣+∣x−3∣ dla każdej liczby rzeczywistej x=0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
LICZNIK MA TRZY TWARZE
∣x+3∣+∣x−3∣ to −2x, stała 6 i 2x — dopiero potem dziel przez x.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPRZEDZIAŁY WYRÓŻNIONE(−∞,−3),⟨−3,3⟩,(3,+∞)(zapisane albo zaznaczone na osi; pamiętając w środku o x=0).
2
2 PKTLICZNIK BEZ MODUŁÓW∣x+3∣+∣x−3∣=⎩⎨⎧−2x62xdla x∈(−∞,−3)dla x∈⟨−3,0)∪(0,3⟩dla x∈⟨3,+∞)
3
3 PKTWZÓR Z BŁĘDEM ALBO WYKRES BEZ ODCZYTUWzór kawałkami z błędem rachunkowym i konsekwentny zbiór wartości ALBO poprawny wykres funkcji z błędnym odczytem zbioru. Sam poprawny wykres bez podania zbioru — też 3 pkt.
4
4 PKTZBIÓR WARTOŚCI — ODPOWIEDŹZWf=(−∞,−2⟩∪⟨2,+∞)
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie ∣x−5∣=(a−1)2−4 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
PRAWA STRONA W PASKU (0,5)
Prosta y=c tnie wykres y=∣x−5∣ w dwóch dodatnich punktach dokładnie dla 0<c<5.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWYKRES ALBO WARUNEKSzkic y=∣x−5∣ (albo y=∣x−5∣+4) — ALBO warunek 0<5−x<5 z dodatniości rozwiązań — ALBO(a−1)2−4>0 jako warunek istnienia dwóch rozwiązań — ALBO alternatywa x−5=(a−1)2−4 lub x−5=−[(a−1)2−4] (także jako dwa przypadki z definicji modułu).
2
2 PKTUKŁAD I POŁOWA ROBOTY0<(a−1)2−4<5z poprawnym rozwiązaniem jednej z nierówności — ALBO (droga przez przypadki) komplet warunków dodatniości w jednym przypadku, np. 9−(a−1)2>0 i 9−(a−1)2<5, z rozwiązaniem a∈(−2,−1)∪(3,4) w tym przypadku.
MAX 2 PKTCKENierówność nieostra (a−1)2−4≥0 konsekwentnie do końca (wynik z domkniętymi końcami) — albo usterki wykresu przy poprawnym dalszym rozumowaniu — albo przesunięcie wykresu y=∣x−5∣ o 4 w dół zamiast w górę, dokończone konsekwentnie.
!
MAX 1 PKTCKEZamiana miejscami współrzędnych wektora przesunięcia (gdy przy takim wykresie dwa dodatnie rozwiązania wciąż istnieją). Wykres przesunięty tak, że dwóch dodatnich rozwiązań nie ma — zero za całość.
Zauważ, że ∣3x+9∣=3∣x+3∣ — lewa strona redukuje się do 4∣x+3∣.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 1+1+1+1
1
+1 PKTDEFINICJA WARTOŚCI BEZWZGLĘDNEJLewa strona redukuje się do jednego modułu: ∣x+3∣+∣3x+9∣=4∣x+3∣=∣4x+12∣. Zapisanie nierówności w_trzech przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe x=−5 i_x=−3:−4x−12<−x−5(x<−5),−4x−12<x+5(−5≤x<−3),4x+12<x+5(x≥−3)
1
+1 PKTROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI LINIOWYCHRozwiązanie każdej z_nierówności bez uwzględniania ograniczeń:x>−37,x>−517,x<−37
1
+1 PKTUWZGLĘDNIENIE OGRANICZEŃCzęści wspólne z_odpowiednimi przedziałami: zbiór pusty, (−517,−3) oraz ⟨−3,−37).
CKEII SPOSÓB · PODNIESIENIE DO KWADRATUObie strony nierówności ∣4x+12∣<∣x+5∣ są nieujemne, więc można je podnieść do_kwadratu i_doprowadzić do postaci iloczynowej (3x+7)(5x+17)<0. Punkt przyznaje się, gdy zdający zapisze nierówność w_postaci ogólnej i_obliczy pierwiastki trójmianu. Trzecia droga uznawana przez klucz to metoda graficzna: wykresy f(x)=∣4x+12∣ i_g(x)=∣x+5∣ oraz odczytanie odciętych punktów wspólnych.
Zapisz obliczenia. Wskazówka: skorzystaj z tego, że a2=∣a∣ dla każdej liczby rzeczywistej a.
POD PIERWIASTKAMI PEŁNE KWADRATY
x2+4x+4=∣x+2∣ i x2−6x+9=∣x−3∣ — to zwykłe dwa moduły.
KLUCZ I · PRZEZ PRZEDZIAŁY
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTZDJĘCIE PIERWIASTKÓW∣x+2∣<325−∣x−3∣
2
2 PKTPRZEDZIAŁY I ROZPISANIE(−∞,−2)[−2,3), [3,+∞) (z dokładnością do domknięcia) wraz z zapisaniem nierówności bez modułu w każdym z nich.
3
3 PKTDWA PRZYPADKI ROZWIĄZANEx<−2: −x−2<325+x−3⇒x>−311, czyli (−311,−2). −2≤x<3: 5<325 — prawda, więc cały [−2,3). x≥3: x+2<325−x+3⇒x<314, czyli [3,314).
4
4 PKTSUMA — ODPOWIEDŹx∈(−311,314)
!
MAX 2 PKTCKEBłąd przy zapisie nierówności w jednym z przypadków przy konsekwentnym dokończeniu.
!
MAX 3 PKTCKEPRZY DRODZE GRAFICZNEJPodanie zbioru (−311,314) z wykresów f(x)=∣x+2∣ i g(x)=325−∣x−3∣ bez sprawdzenia rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia.
∣2x−6∣=2∣x−3∣, a ∣x2−9∣=∣x−3∣⋅∣x+3∣ — zostaje iloczyn.
KLUCZ I · WYŁĄCZENIE CZYNNIKA
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWŁASNOŚĆ MODUŁU2⋅∣x−3∣−∣(x−3)(x+3)∣<0
2
2 PKTILOCZYN∣x−3∣⋅(2−∣x+3∣)<0
=
2 PKTTA SAMA WYSOKOŚĆ PROGUDroga wielomianowa: (2x−6)2<(x2−9)2, czyli (x−3)2[4−(x+3)2]<0.
3
3 PKTROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCISkoro ∣x−3∣≥0, to musi być ∣x−3∣=0 oraz 2−∣x+3∣<0, czyli x=3∧∣x+3∣>2.
=
3 PKTTA SAMA WYSOKOŚĆ PROGUPrzekształcenie do (x−3)2(x+1)(x+5)>0 — ALBO wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu x4−22x2+24x+45 wraz z ich krotnościami.
4
4 PKTZBIÓR — ODPOWIEDŹx=3∧(x<−5∨x>−1) czyli x∈(−∞,−5)∪(−1,3)∪(3,+∞)
!
MAX 3 PKTCKEPominięcie warunku x=3 w podanym zbiorze rozwiązań.
x∈(−∞,−5)∪(−1,3)∪(3,+∞)
KLUCZ II · DROGA PRZEZ PRZEDZIAŁY
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJTA SAMA SKALA
1
1 PKTPRZEDZIAŁY + JEDEN ROZPISANYPrzedziały wyczerpujące R: (−∞,−3), [−3,3), [3,+∞) (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez modułu w jednym z nich — albo rozwiązanie jej w jednym z nich.
2
2 PKTWSZYSTKIE ROZPISANENierówność bez symbolu wartości bezwzględnej w każdym z trzech przedziałów.
3
3 PKTDWA PRZYPADKI ROZWIĄZANEx∈(−∞,−3): −x2−2x+15<0⇒x∈(−∞,−5). x∈[−3,3): x2−2x−3<0⇒x∈(−1,3). x∈[3,+∞): −x2+2x+3<0⇒x∈(3,+∞). Na próg 3 wystarczą dwa z nich domknięte częścią wspólną.
4
4 PKTSUMA — ODPOWIEDŹx∈(−∞,−5)∪(−1,3)∪(3,+∞)
!
MAX 3 PKTCKEPrzedziały, które nie wyczerpują R (np. same nierówności ostre).
!
MAX 3 PKTCKERozwiązanie graficzne z poprawnym zbiorem, ale bez sprawdzenia rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów f(x)=∣2x−6∣ i g(x)=∣x2−9∣.
!
MAX 2 PKTCKEBłąd nierachunkowy przy zdejmowaniu modułu w jednym z przypadków i dokończenie zadania.