Trójkąty — podobieństwo i pola

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości $5$ i $12$. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość $26$. Oblicz pole trójkąta $T_2$. Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$ o boku długości $24$. Punkt $E$ leży na boku $AB$, a punkt $F$ — na boku $BC$ tego trójkąta. Odcinek $EF$ jest równoległy do boku $AC$ i przechodzi przez środek $S$ wysokości $CD$ trójkąta $ABC$ (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka $EF$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Dwusieczna kąta $BAC$ przecina bok $BC$ w takim punkcie $D$, że trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta $BAC$.

W trójkącie $ABC$ boki $BC$ i $AC$ są równej długości. Prosta $k$ jest prostopadła do podstawy $AB$ tego trójkąta i przecina boki $AB$ oraz $BC$ w punktach — odpowiednio — $D$ i $E$. Pole czworokąta $ADEC$ jest $17$ razy większe od pola trójkąta $BED$. Oblicz $\frac{|CE|}{|EB|}$.

Trójkąt równoboczny $ABC$ ma pole równe $9\sqrt{3}$. Prosta równoległa do boku $BC$ przecina boki $AB$ i $AC$ — odpowiednio — w punktach $K$ i $L$. Trójkąty $ABC$ i $AKL$ są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy $\frac{3}{2}$. Oblicz długość boku trójkąta $AKL$.

W trójkącie $ABC$ dane są długości boków $|AB|=15$ i $|AC|=12$ oraz $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, gdzie $\alpha =\sphericalangle BAC$. Na bokach $AB$ i $AC$ tego trójkąta obrano punkty odpowiednio $D$ i $E$ takie, że $|BD|=2|AD|$ i $|AE|=2|CE|$ (zobacz rysunek). Oblicz pole

a) trójkąta $ADE$, b) czworokąta $BCED$.