Rozwiąż na kartce, potem otwórz KLUCZ CKE: progi punktowe,
drogi ALBO na ten sam próg i pułapki, za które schemat odbiera punkt.
Meldunek UMIEM nalicza XP wg wagi zadania.
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30∘. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak, że miara kąta CDA jest równa 60∘ oraz ∣AD∣=6 (zobacz rysunek). Oblicz ∣BD∣.
KĄT BCD MA 30∘ — TRÓJKĄT BCD JEST RÓWNORAMIENNY
Stąd ∣BD∣=∣CD∣=2∣AD∣.
KLUCZ · 2 PKT
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z PIĘCIU ZALEŻNOŚCIObliczenie ∢BCD=30∘ — <strong>ALBO</strong> zapisanie ∣BD∣=∣CD∣ — <strong>ALBO</strong> związku ∣AC∣=3∣AD∣ — <strong>ALBO</strong> związku ∣CD∣=2∣AD∣ — <strong>ALBO</strong> układu 6h=tg60∘,x+6h=tg30∘ przy h=∣AC∣, x=∣BD∣.
2
2 PKTDŁUGOŚĆ ODCINKA — ODPOWIEDŹ∣BD∣=12.
!
PUŁAPKA (KLUCZ) — SAM WYNIK TO TYLKO PUNKTZapisanie wyłącznie „∣BD∣=12" bez rachunku — 1 pkt.
+
DRUGA DROGA — PRZEZ DWA TANGENSY∣AC∣=6tg60∘=63, potem ∣AB∣63=tg30∘=33 daje ∣AB∣=18, więc ∣BD∣=18−6=12. Dłuższa, ale nie wymaga zauważenia równoramienności.
Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ∢ACB ma miarę 120∘. Ponadto wiadomo, że ∣BC∣=10 i ∣AB∣=107 (zobacz rysunek). Oblicz długość trzeciego boku trójkąta ABC.
KĄT ZEWNĘTRZNY PRZY C MA 60∘
Wpuszcza to trójkąt 30–60–90; cosinusy też są honorowane.
KLUCZ · 4 PKT
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOSTĘP NIEWIELKI, ALE KONIECZNYZauważenie, że kąt zewnętrzny przy C ma miarę 60∘ — <strong>ALBO</strong> poprowadzenie wysokości BD albo AF — <strong>ALBO</strong> zapisanie twierdzenia cosinusów: ∣AB∣2=∣AC∣2+∣BC∣2−2∣AC∣∣BC∣cos120∘ — <strong>ALBO</strong> zapisanie układu prowadzącego do równania z jedną niewiadomą (pole z sinusem plus Pitagoras albo wzór Herona) — <strong>ALBO</strong> narysowanie trójkąta równobocznego w konstrukcji Stewarta.
2
2 PKTISTOTNY POSTĘPObliczenie przyprostokątnych: ∣CD∣=5 i ∣BD∣=53 — <strong>ALBO</strong> wyrażenie ∣AF∣=2b3 i ∣CF∣=2b — <strong>ALBO</strong> zapisanie równania z jedną niewiadomą b w jednej z pozostałych metod.
3
3 PKTPOKONANIE ZASADNICZYCH TRUDNOŚCIZapisanie równania stopnia drugiego z jedną niewiadomą, np. (107)2=(b+5)2+(53)2 — <strong>ALBO</strong> równania wyższego stopnia rozłożonego na czynniki co najwyżej kwadratowe, np. (b2−400)(b2−900)=0.
4
4 PKTDŁUGOŚĆ BOKU — ODPOWIEDŹZ (b+5)2=625 wynika ∣AC∣=b=20 (drugie rozwiązanie −30 odpada).
!
PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 2 PKT ZA DZIEWIĘĆ RÓŻNYCH BŁĘDÓWSufit 2 pkt, jeśli jedynym błędem jest niepoprawne zastosowanie: zależności w trójkącie 30–60–90; twierdzenia Pitagorasa; definicji funkcji trygonometrycznych; wzoru redukcyjnego; wzoru na pole z sinusem; wzoru Herona; twierdzenia cosinusów; twierdzenia Stewarta; albo wzoru skróconego mnożenia (np. (a+b)2=a2+b2 czy a2+b2=a+b).
!
PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 1 PKT ZA DOŁOŻONE ZAŁOŻENIA I ZERO ZA SAM WYNIKPrzyjęcie, że trójkąt jest równoramienny, albo że któryś z kątów ostrych ma 30∘, 45∘ czy 60∘ — sufit 1 pkt. Zapisanie samego „∣AC∣=20" bez rachunku — 0 punktów.
?
W METODACH PRZEZ POLE POJAWIA SIĘ DRUGI PIERWIASTEKDrogi przez pole z sinusem oraz przez wzór Herona prowadzą do równania czwartego stopnia z pierwiastkami 20 i 30. Trzeba jawnie odrzucić b=30: najdłuższym bokiem musi być AB=107≈26,5, leżący naprzeciw kąta rozwartego. Drogi przez wysokość i twierdzenie cosinusów tego problemu nie mają.
Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50∘. Oblicz kąty tego trójkąta.
NAZWIJ NAJMNIEJSZY KĄT — RESZTA WYNIKNIE
Suma daje 5α=130∘; sprawdź na końcu, który kąt jest największy.
KLUCZ · 4 PKT
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOSTĘP NIEWIELKI, ALE KONIECZNYZapisanie kątów trójkąta w zależności od jednej niewiadomej, np. α, α+50∘, 3α — <strong>ALBO</strong> 3α, 3α+50∘, α — <strong>ALBO</strong> α−50∘, α, 3(α−50∘) — <strong>ALBO</strong> zapisanie układu dwóch albo trzech równań.
2
2 PKTISTOTNY POSTĘPZapisanie równania z jedną niewiadomą, np. α+3α+α+50∘=180∘ — i poprzestanie na tym.
3
3 PKTPOKONANIE ZASADNICZYCH TRUDNOŚCIObliczenie jednego z kątów: α=26∘ albo 76∘, albo 78∘ — i poprzestanie na tym.
4
4 PKTWSZYSTKIE TRZY KĄTY — ODPOWIEDŹZ 5α=130∘ wychodzi α=26∘, a stąd 26∘,76∘,78∘.
!
PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFITY 1 I 2 PKT ZA ZGADYWANIEPodanie samych kątów 26∘, 76∘, 78∘ bez rachunku — 1 pkt. Podanie ich wraz ze sprawdzeniem wszystkich warunków zadania — 2 pkt. Pełne cztery punkty wymagają wyprowadzenia.