Okrąg i koło

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Odcinek $BD$ jest średnicą tego okręgu oraz $|\sphericalangle ABD|=18^{\circ }$. Punkt $D$ leży na krótszym łuku $CA$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BCA$ jest równa

Długość okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równa $16$. Wysokość tego trójkąta jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ oraz $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Punkt $B$ leży na krótszym łuku $AC$. Kąt $CDA$ ma miarę $50^{\circ }$, a kąt $COB$ ma miarę $30^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BOA$ jest równa

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Miara kąta $BCA$ jest równa $50^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ABO$ jest równa

Punkty $K$, $L$ oraz $M$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Miara kąta $KSM$ jest równa $160^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego $KLM$ jest równa

Punkty $A$, $B$ oraz $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $S$. Długość łuku $AB$, na którym jest oparty kąt wpisany $ACB$, jest równa $\frac{1}{5}$ długości okręgu (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ACB$ jest równa

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Koło ma promień równy $3$.

Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym $30^{\circ }$ jest równy

Na łukach $AB$ i $CD$ okręgu są oparte kąty wpisane $ADB$ i $DBC$, takie, że $|\sphericalangle ADB|=20^{\circ }$ i $|\sphericalangle DBC|=40^{\circ }$ (zobacz rysunek). Cięciwy $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $K$.

Miara kąta $DKC$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Przez punkty $A$ i $B$, leżące na okręgu o środku $O$, poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie $C$ (zobacz rysunek). Miara kąta $ACB$ jest równa

Punkty $A$ oraz $B$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt środkowy $ASB$ ma miarę $100^{\circ }$. Prosta $l$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $A$ i tworzy z cięciwą $AB$ okręgu kąt o mierze $\alpha$ (zobacz rysunek). Wtedy

Wierzchołki $A$, $B$, $C$ czworokąta $ABSC$ leżą na okręgu o środku $S$. Kąt $ABS$ ma miarę $40^{\circ }$ (zobacz rysunek), a przekątna $BC$ jest dwusieczną tego kąta. Miara kąta $ASC$ jest równa

Na trójkącie ostrokątnym $ABC$ opisano okrąg o środku $O$. Miara kąta $ABC$ jest równa $65^{\circ }$. Miara kąta $ACO$ jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ leżą na okręgu o środku $S$. Punkt $D$ jest punktem przecięcia cięciwy $AC$ i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu $B$. Miara kąta $BSC$ jest równa $\alpha$, a miara kąta $ADB$ jest równa $\gamma$ (zobacz rysunek). Wtedy kąt $ABD$ ma miarę

Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Cięciwy $DB$ i $AC$ przecinają się w punkcie $E$, $|\sphericalangle ACB|=55^{\circ }$ oraz $|\sphericalangle AEB|=140^{\circ }$ (zobacz rysunek). Miara kąta $DAC$ jest równa

Okrąg o środku w punkcie $O$ jest wpisany w trójkąt $ABC$. Wiadomo, że $|AB|=|AC|$ i $|\sphericalangle BOC|=100^{\circ }$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BAC$ jest równa

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Bok $AD$ jest średnicą tego okręgu, a miara kąta $BDC$ jest równa $20^{\circ }$ (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta $BSC$ jest równa

Prosta $k$ przechodzi przez punkt $A=(2,-3)$ i jest nachylona do osi $Ox$ pod kątem $45^{\circ }$ (zobacz rysunek). Prosta $k$ ma równanie

Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie $A$. Punkty $B$ i $C$ są położone na okręgu tak, że $BC$ jest jego średnicą. Cięciwa $AB$ tworzy ze styczną kąt o mierze $40^{\circ }$ (zobacz rysunek). Miara kąta $ABC$ jest równa

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ oraz $C$. Odcinek $AC$ jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy $AOB$ ma miarę $82^{\circ }$ (zobacz rysunek). Miara kąta $OBC$ jest równa

Pole figury $F_1$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach $1$ i $3$ jest równe polu figury $F_2$ złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach długości $r$ (zobacz rysunek). Długość $r$ promienia jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$. Miary kątów $SBC$, $BCD$, $CDA$ są równe odpowiednio: $|\sphericalangle SBC|=60^{\circ }$, $|\sphericalangle BCD|=110^{\circ }$, $|\sphericalangle CDA|=90^{\circ }$ (zobacz rysunek). Wynika stąd, że miara $\alpha$ kąta $DAS$ jest równa

Prosta $k$ jest styczna w punkcie $A$ do okręgu o środku $O$. Punkt $B$ leży na tym okręgu i miara kąta $AOB$ jest równa $80^{\circ }$. Przez punkty $O$ i $B$ poprowadzono prostą, która przecina prostą $k$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BAC$ jest równa

Do okręgu o środku w punkcie $S=(2,4)$ należy punkt $P=(1,3)$. Długość tego okręgu jest równa

Punkty $A$, $B$, $C$, $D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt środkowy $DOC$ ma miarę $118^{\circ }$ (zobacz rysunek). Miara kąta $ABC$ jest równa

Na okręgu o środku w punkcie $O$ wybrano trzy punkty $A$, $B$, $C$ tak, że $|\sphericalangle AOB|=70^{\circ }$, $|\sphericalangle OAC|=25^{\circ }$. Cięciwa $AC$ przecina promień $OB$ (zobacz rysunek). Wtedy miara $\sphericalangle OBC$ jest równa

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie $O$ i promieniu $5$ oraz okrąg o środku w punkcie $P$ i promieniu $3$. Odcinek $OP$ ma długość $16$. Prosta $AB$ jest styczna do tych okręgów w punktach $A$ i $B$. Ponadto prosta $AB$ przecina odcinek $OP$ w punkcie $K$ (zobacz rysunek). Wtedy

Punkty $D$ i $E$ leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym $ABC$ (zobacz rysunek). Odcinek $CD$ jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany $DEB$ ma miarę $\alpha$. Zatem

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K$, $L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąty $KSL$ i $KML$ (zobacz rysunek), których miary $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha +\beta =114^{\circ }$. Wynika stąd, że

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku $2:3:3:4$. Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę

Okrąg o środku $S_1=(2,1)$ i promieniu $r$ oraz okrąg o środku $S_2=(5,5)$ i promieniu $4$ są styczne zewnętrznie. Wtedy

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K$, $L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąty $KSL$ i $KML$ (zobacz rysunek), których miary $\alpha$ i $\beta$ spełniają warunek $\alpha +\beta =111^{\circ }$. Wynika stąd, że

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leżą punkty $A$, $B$ i $C$ (zobacz rysunek). Kąt $ABC$ ma miarę $121^{\circ }$, a kąt $BOC$ ma miarę $40^{\circ }$. Kąt $AOB$ ma miarę

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe $\frac{1}{3}{\pi }^3$. Długość boku tego trójkąta jest równa

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt wpisany $ABC$ o mierze $20^{\circ }$ (patrz rysunek). Miara kąta $CAO$ jest równa

Dany jest okrąg o środku $S=(2,3)$ i promieniu $r=5$. Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy $\alpha$ ma miarę

Okręgi o środkach $S_1=(3,4)$ oraz $S_2=(9,-4)$ i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy

Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $S$. Cięciwa $CD$ przecina średnicę $AB$ tego okręgu w punkcie $E$ tak, że $|\sphericalangle BEC|=100^{\circ }$. Kąt środkowy $ASC$ ma miarę $110^{\circ }$ (zobacz rysunek). Kąt wpisany $BAD$ ma miarę

Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ leżą na okręgu o środku $O$ (zobacz rysunek). Miary zaznaczonych kątów $\alpha$ i $\beta$ są odpowiednio równe

Punkty $ABCD$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BDC$ jest równa

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

W okręgu o środku $O$ dany jest kąt o mierze $50^{\circ }$, zaznaczony na rysunku. Miara kąta oznaczonego na rysunku literą $\alpha$ jest równa

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o $20^{\circ }$ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa