Figury i okrąg w układzie

Rocznik 2026

3

1Czerwiec 2026 · zadanie 22 · Formuła 2023 · 3 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $A BC D$ , w którym $D = (6, 19)$ . Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 9$ , a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 4 x - 5$ . Punkt $K = (10, 14)$ jest środkiem odcinka $A B$ . Przekątne równoległoboku $A BC D$ przecinają się w punkcie $S$ . Oblicz współrzędne punktu $S$ . Zapisz obliczenia.

2Czerwiec 2026 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $A BC D$ , w którym $D = (6, 19)$ . Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x + 9$ , a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 4 x - 5$ . Punkt $K = (10, 14)$ jest środkiem odcinka $A B$ . Przekątne równoległoboku $A BC D$ przecinają się w punkcie $S$ . Oblicz odległość punktu $S$ od początku układu współrzędnych.

3Maj 2026 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (- 4, - 2)$ i $B = (- 2, 10)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $A BC$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ . Wierzchołek $C$ leży na osi $O x$ układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ oraz pole trójkąta $A BC$ .

KLUCZ · 5 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1

1 PKTJEDNA Z SZEŚCIU RZECZYObliczenie

∣ A B ∣ = 237

— ALBO zapisanie pola przez współrzędne

C

— ALBO środka

M = (- 3, 4)

— ALBO współczynnika

a_{A B} = 6

(albo równania ogólnego

6 x - y + 22 = 0

) — ALBO zapisania

C = (x_{C}, 0)

— ALBO równości

∣ A C ∣ = ∣ BC ∣

przez współrzędne.

2

2 PKTSYMETRALNA, RÓWNANIE Z

x_{C}

ALBO

∣ A B ∣

Z DODATKIEMWyznaczenie symetralnej

y = - \frac{1}{6} (x + 3) + 4

— ALBO równania z jedną niewiadomą

x_{C}

— ALBO

∣ A B ∣ = 237

wraz z jedną z czterech rzeczy z progu 1 — ALBO wzoru na pole przez współrzędne wraz z jedną z tych rzeczy.

3

3 PKTWSPÓŁRZĘDNE

C

ALBO KOMBINACJA DWÓCH ELEMENTÓWObliczenie

C = (21, 0)

— ALBO

∣ A B ∣ = 237

wraz z symetralną albo z równaniem na

x_{C}

— ALBO wzoru na pole wraz z jedną z tych dwóch rzeczy.

4

4 PKT

C

WRAZ Z DŁUGOŚCIĄ ALBO POLEM PRZEZ

x_{C}

C = (21, 0)

wraz z

∣ A B ∣ = 237

— ALBO z

∣ CM ∣ = 437

— ALBO ze wzorem na pole przez

x_{C}

— ALBO z odciętą przecięcia prostej

A B

z osią

O x

:

x_{0} = - \frac{11}{3}

.

5

5 PKTPOLE TRÓJKĄTA — ODPOWIEDŹ

P_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 237 \cdot 437 = 4 \cdot 37 = 148

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 3 PKT ZA SIEDEM BŁĘDÓW, ZERO ZA DWASufit 3 pkt przy jednym z siedmiu: zły wzór na współczynnik kierunkowy; zła zależność dla prostych prostopadłych; zły wzór na środek odcinka; zły warunek prostopadłości wektorów; zły wzór na odległość punktów; złe własności symetralnej; przyjęcie, że

C

leży poza osią

O x

. Przy więcej niż jednym — 0 pkt.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — ODCZYT Z RYSUNKU MA WŁASNĄ TARYFĘNarysowanie symetralnej i odczytanie

C = (21, 0)

ze sprawdzeniem

∣ A C ∣ = ∣ BC ∣

— 3 pkt za tę część; bez sprawdzenia — 2 pkt; przy błędnym odczycie — 0 pkt. Bez rysunku samo

C = (21, 0)

— 0 pkt, z dalszym ciągiem — sufit 2 pkt.

+

NAJKRÓTSZA DROGA — WZÓR NA POLE Z TRZECH WIERZCHOŁKÓWPo znalezieniu

C = (21, 0)

wystarczy

P = \frac{1}{2} ∣ (- 2 + 4) (0 + 2) - (10 + 2) (21 + 4) ∣ = \frac{1}{2} ∣4 - 300∣ = 148

— bez liczenia

∣ A B ∣

i wysokości.

?

PYTANIE Z KOMENTARZY: WYSOKOŚĆ Z

C

TO ODCINEK DO ŚRODKA

A B

W trójkącie równoramiennym odcinek z wierzchołka do środka podstawy jest jednocześnie wysokością — więc liczenie

∣ CM ∣

jest równoważne liczeniu odległości

C

od prostej

A B

, tylko rachunkowo prostsze:

576 + 16 = 437

.

Rocznik 2025

3

4Sierpień 2025 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (- 4, 7)$ oraz $B = (12, 3)$ . Prosta $A B$ przecina oś $O x$ w punkcie $C$ . Symetralna odcinka $A B$ przecina oś $O x$ w punkcie $D$ . Oblicz współrzędne punktów $C$ i $D$ oraz pole trójkąta $A C D$ .

5Czerwiec 2025 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (0, 1)$ oraz $C = (6, 4)$ są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu $A BC D$ . Prosta $k$ o równaniu $y = a x + b$ przechodzi przez wierzchołki $B$ oraz $D$ tego kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki $a$ oraz $b$ w równaniu prostej $k$ .

6Maj 2025 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (- 2, - 1)$ , $B = (0, 0)$ oraz $C = (4, 8)$ są wierzchołkami trapezu prostokątnego $A BC D$ o podstawach $A B$ i $C D$ . Kąt $D A B$ jest prosty. Oblicz współrzędne punktu $D$ oraz długość odcinka $B D$ .

Rocznik 2024

5

7Sierpień 2024 · zadanie 21 · Formuła 2023 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $A BC D$ przecinają się w punkcie $S = (9, 11)$ . Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 1$ , a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 2 x - 4$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ . Zapisz obliczenia.

8Sierpień 2024 · zadanie 36 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ przekątne równoległoboku $A BC D$ przecinają się w punkcie $S = (9, 11)$ . Bok $A B$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 1$ , a bok $A D$ zawiera się w prostej o równaniu $y = 2 x - 4$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ oraz długość odcinka $BS$ .

KLUCZ · 5 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1

1 PKTJEDNA Z SZEŚCIU RZECZYObliczenie

A = (2, 0)

— ALBO równania prostej

S M_{A B}

:

y = 2 x - 7

— ALBO środka

M_{A D} = (7, 10)

— ALBO zależności

\frac{x _{B} + x _{D}}{2} = 9

oraz

\frac{y _{B} + y _{D}}{2} = 11

— ALBO zapisania

B

przez jedną zmienną:

B = (x_{B}, \frac{1}{2} x_{B} - 1)

— ALBO analogicznie

D

.

2

2 PKTISTOTNY POSTĘPObliczenie

C = (16, 22)

— ALBO środka

M_{A B} = (4, 1)

— ALBO środka

M_{BC} = (11, 12)

— ALBO

A = (2, 0)

wraz z równaniem

S M_{A B}

albo ze środkiem

M_{A D}

— ALBO zależności między współrzędnymi

B

,

D

,

S

wraz z zapisaniem jednego z tych punktów przez jedną zmienną.

3

3 PKTPOKONANIE ZASADNICZYCH TRUDNOŚCIWyznaczenie równania prostej

BC

:

y = 2 x - 10

— ALBO obliczenie

D = (12, 20)

— ALBO

A = (2, 0)

wraz z

M_{A B} = (4, 1)

— ALBO

C = (16, 22)

wraz z

M_{BC} = (11, 12)

— ALBO układu pozwalającego obliczyć współrzędną

B

.

4

4 PKTPRAWIE PEŁNEObliczenie

B = (6, 2)

— ALBO

D = (12, 20)

wraz z długością

∣ D S ∣ = 90

.

5

5 PKTOBIE WIELKOŚCI — ODPOWIEDŹ

B = (6, 2), ∣ BS ∣ = 9 + 81 = 90 = 310

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 2 PKT ZA JEDEN BŁĄD, ZERO ZA DWASufit 2 pkt przy jednym z trzech: zły wzór na współczynnik kierunkowy; zła zależność między współczynnikami prostych równoległych; zły wzór na środek odcinka. Przy więcej niż jednym — 0 punktów. Lista jest krótsza niż w czerwcu (trzy zamiast siedmiu), ale kara ostrzejsza.

+

TRZECIA DROGA — PRZEZ ŚRODEK PRZEKĄTNEJ

B D

S

jest też środkiem

B D

, więc

\frac{x _{B} + x _{D}}{2} = 9

i

\frac{y _{B} + y _{D}}{2} = 11

. Podstawiając

y_{B} = \frac{1}{2} x_{B} - 1

i

y_{D} = 2 x_{D} - 4

dostajemy układ dwóch równań liniowych — bez liczenia

A

i

C

.

?

RÓWNOLEGŁOŚĆ, NIE PROSTOPADŁOŚĆ — TO ZMIENIA ODRUCHW większości zadań z tej serii szukało się prostej prostopadłej (symetralne). Tutaj

BC ∥ A D

, więc współczynnik przepisuje się bez zmian:

2

, a nie

- \frac{1}{2}

.

9Czerwiec 2024 · zadanie 24 · Formuła 2023 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (2, 8)$ oraz $B = (10, 2)$ . Symetralna odcinka $A B$ przecina oś $O x$ układu współrzędnych w punkcie $P$ . Oblicz współrzędne punktu $P$ oraz długość odcinka $A P$ . Zapisz obliczenia.

KLUCZ · 4 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1

1 PKTJEDNA Z PIĘCIU RZECZYZapisanie środka

M = (6, 5)

— ALBO współczynnika

a_{A B} = - \frac{3}{4}

— ALBO równania ogólnego prostej

A B

:

3 x + 4 y - 38 = 0

— ALBO zapisania

P = (x_{P}, 0)

— ALBO zapisania równości

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

przez współrzędne

P

.

2

2 PKTISTOTNY POSTĘPWyznaczenie równania symetralnej

y = \frac{4}{3} x - 3

— ALBO zapisanie układu

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

wraz z

y_{P} = 0

— ALBO równania z prostopadłości wektorów:

- 4 (x_{P} - 6) + 3 \cdot (- 5) = 0

.

3

3 PKTWSPÓŁRZĘDNE PUNKTU

P = (\frac{9}{4}, 0)

.

4

4 PKTDŁUGOŚĆ ODCINKA — ODPOWIEDŹ

∣ A P ∣ = (\frac{9}{4} - 2)^{2} + (0 - 8)^{2} = \frac{1}{16} + 64 = \frac{5 41}{4}

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 2 PKT ZA SIEDEM BŁĘDÓW MERYTORYCZNYCH, ZERO ZA DWASufit 2 pkt przy jednym z siedmiu: zły wzór na współczynnik kierunkowy; zła zależność między współczynnikami prostopadłych; zły wzór na środek odcinka; zły warunek prostopadłości wektorów; zły wzór na odległość punktów; złe własności symetralnej; przyjęcie, że

P

leży poza osią

O x

. Przy więcej niż jednym — 0 punktów.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — ODCZYT Z RYSUNKU MA WŁASNĄ TARYFĘNarysowanie symetralnej i odczytanie

P

ze sprawdzeniem

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

— 3 pkt za tę część; bez sprawdzenia — 2 pkt; przy błędnym odczycie — 0 pkt. Bez rysunku samo

P = (\frac{9}{4}, 0)

— 0 pkt, a z dalszym ciągiem — sufit 1 pkt.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 3 PKT ZA DWA POŁOŻENIA I ZA BŁĘDY RACHUNKOWERozważanie dwóch różnych położeń

P

na osi

O x

bez odrzucenia niewłaściwego — sufit 3 pkt. Poprawna strategia z samymi błędami rachunkowymi — również sufit 3 pkt.

?

TA SAMA GEOMETRIA CO W F2015, ALE INNE POLECENIE I INNA SKALAW Formule 2015 (zad. 36) pytano o obwód trójkąta

A BP

za 5 punktów; tutaj o samą długość

∣ A P ∣

za 4. Sufity są odpowiednio niższe: siedem błędów daje tu 2 pkt zamiast 3, a rozwiązanie bez rysunku — 1 zamiast 2.

10Czerwiec 2024 · zadanie 36 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są punkty $A = (2, 8)$ oraz $B = (10, 2)$ . Symetralna odcinka $A B$ przecina oś $O x$ układu współrzędnych w punkcie $P$ . Oblicz współrzędne punktu $P$ oraz obwód trójkąta $A BP$ .

KLUCZ · 5 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1

1 PKTJEDNA Z PIĘCIU RZECZYObliczenie

∣ A B ∣ = 10

— ALBO środka

M = (6, 5)

— ALBO współczynnika

a_{A B} = - \frac{3}{4}

(albo równania ogólnego

3 x + 4 y - 38 = 0

) — ALBO zapisania

P = (x_{P}, 0)

— ALBO zapisania równości

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

przez współrzędne

P

.

2

2 PKTISTOTNY POSTĘP

∣ A B ∣ = 10

oraz jedna z czterech pozostałych rzeczy z progu 1 — ALBO wyznaczenie równania symetralnej

y = \frac{4}{3} x - 3

— ALBO zapisanie układu

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

wraz z

y_{P} = 0

— ALBO równania z prostopadłości wektorów:

- 4 (x_{P} - 6) + 3 \cdot (- 5) = 0

.

3

3 PKTPOKONANIE ZASADNICZYCH TRUDNOŚCI

∣ A B ∣ = 10

oraz równanie symetralnej albo układ albo warunek wektorowy — ALBO samo obliczenie

P = (\frac{9}{4}, 0)

.

4

4 PKTPRAWIE PEŁNE

P = (\frac{9}{4}, 0)

oraz długość jednego z boków:

∣ A B ∣ = 10

albo

∣ A P ∣ = \frac{5 41}{4}

.

5

5 PKTOBWÓD — ODPOWIEDŹ

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣ = \frac{1}{16} + 64 = \frac{5 41}{4}

, więc

L = 2 \cdot \frac{5 41}{4} + 10 = \frac{5 41}{2} + 10

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 3 PKT ZA SIEDEM BŁĘDÓW MERYTORYCZNYCH, ZERO ZA DWASufit 3 pkt przy jednym z siedmiu: zły wzór na współczynnik kierunkowy; zła zależność między współczynnikami prostopadłych; zły wzór na środek odcinka; zły warunek prostopadłości wektorów; zły wzór na odległość punktów; złe własności symetralnej; przyjęcie, że

P

leży poza osią

O x

. Przy więcej niż jednym — sufit 1 pkt.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — ODCZYT Z RYSUNKU MA WŁASNĄ TARYFĘNarysowanie symetralnej i odczytanie

P = (\frac{9}{4}, 0)

ze sprawdzeniem

∣ A P ∣ = ∣ BP ∣

— 3 pkt za tę część; bez sprawdzenia — 2 pkt; przy błędnym odczycie — 0 pkt. Bez rysunku samo

P = (\frac{9}{4}, 0)

— 0 pkt, a z dalszym ciągiem — sufit 2 pkt.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 4 PKT ZA DWA POŁOŻENIA I ZA BŁĘDY RACHUNKOWERozważanie dwóch różnych położeń

P

na osi

O x

bez odrzucenia niewłaściwego — sufit 4 pkt. Poprawna strategia z samymi błędami rachunkowymi — również sufit 4 pkt.

+

NAJKRÓTSZA DROGA — RÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ OD RAZUPodstaw

P = (x, 0)

do

∣ A P ∣^{2} = ∣ BP ∣^{2}

:

(x - 2)^{2} + 64 = (x - 10)^{2} + 4

. Kwadraty

x^{2}

znikają, zostaje

16 x = 36

. Nie trzeba ani środka, ani współczynnika prostopadłości.

11Maj 2024 · zadanie 24 · Formuła 2023 · ≡ zad. 34 · Formuła 2015 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023FORMUŁA 2015

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $A BC D$ , w którym $A = (- 2, 6)$ oraz $B = (10, 2)$ . Przekątne $A C$ oraz $B D$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P = (6, 7)$ . Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Rocznik 2023

3

12Sierpień 2023 · zadanie 36 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (\frac{22}{5}, - \frac{21}{5})$ , $B = (6, 7)$ oraz $C = (- 9, 2)$ są wierzchołkami trójkąta $A BC$ . Symetralna boku $A B$ tego trójkąta przecina bok $BC$ w punkcie $D$ . Oblicz współrzędne punktu $D$ .

13Czerwiec 2023 · zadanie 36 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W trapezie równoramiennym $A BC D$ podstawa $C D$ ma długość $5$ . Punkt $F = (3, 11)$ jest środkiem odcinka $C D$ . Prosta o równaniu $y = - \frac{4}{3} x + 15$ jest osią symetrii tego trapezu oraz $B = (\frac{23}{2}, 8)$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ oraz pole tego trapezu.

14Maj 2023 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W kwadracie $A BC D$ punkty $A = (- 8, - 2)$ oraz $C = (0, 4)$ są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną $B D$ tego kwadratu.

Rocznik 2022

1

15Czerwiec 2022 · zadanie 35 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $A = (1, - 3)$ jest wierzchołkiem trójkąta $A BC$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ . Punkt $S = (5, - 1)$ jest środkiem odcinka $A B$ . Wierzchołek $C$ tego trójkąta leży na prostej o równaniu $y = x + 10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Rocznik 2021

2

16Czerwiec 2021 · zadanie 35 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Podstawa $A B$ trójkąta równoramiennego $A BC$ jest zawarta w prostej o równaniu $y = - 2 x + 16$ . Wierzchołki $B$ i $C$ mają współrzędne $B = (3, 10)$ i $C = (- 2, 3)$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ i pole trójkąta $A BC$ .

17Maj 2021 · zadanie 35 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (- 20, 12)$ i $B = (7, 3)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $A BC$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ . Wierzchołek $C$ leży na osi $O y$ układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ oraz obwód tego trójkąta.

Rocznik 2020

2

18Lipiec 2020 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (1, - 1)$ , $B = (6, 1)$ , $C = (7, 5)$ i $D = (2, 4)$ są wierzchołkami czworokąta $A BC D$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.

19Czerwiec 2020 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest kwadrat $A BC D$ , w którym $A = (5, - \frac{5}{3})$ . Przekątna $B D$ tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu $y = \frac{4}{3} x$ . Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych $A C$ i $B D$ oraz pole kwadratu $A BC D$ .

Rocznik 2019

1

20Sierpień 2019 · zadanie 31 · Formuła 2015 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Przekątne rombu $A BC D$ przecinają się w punkcie $S = (- \frac{21}{2}, - 1)$ . Punkty $A$ i $C$ leżą na prostej o równaniu $y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{2}$ . Wyznacz równanie prostej $B D$ .

Rocznik 2018

3

21Sierpień 2018 · zadanie 31 · Formuła 2015 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (2, 4)$ , $B = (0, 0)$ , $C = (4, - 2)$ są wierzchołkami trójkąta $A BC$ . Punkt $D$ jest środkiem boku $A C$ tego trójkąta. Wyznacz równanie prostej $B D$ .

22Czerwiec 2018 · zadanie 34 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (- 1, 1)$ i $C = (1, 9)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $A BC$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ . Podstawa $A B$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta.

23Maj 2018 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

W układzie współrzędnych punkty $A = (4, 3)$ i $B = (10, 5)$ są wierzchołkami trójkąta $A BC$ . Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y = 2 x + 3$ . Oblicz współrzędne punktu $C$ , dla którego kąt $A BC$ jest prosty.

KLUCZ · 5 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1

1 PKTPOSTĘP NIEWIELKI, ALE KONIECZNYUzależnienie obu współrzędnych punktu

C

od jednej zmiennej, np.

C = (x, 2 x + 3)

— ALBO zapisanie

∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ BC ∣^{2}

wraz z obliczeniem

∣ A B ∣ = 210

— ALBO obliczenie współrzędnych wektora

A B = [6, 2]

wraz z zapisaniem warunku

A B \circ BC = 0

— ALBO obliczenie współczynnika kierunkowego prostej

A B

:

a_{A B} = \frac{1}{3}

.

2

2 PKTISTOTNY POSTĘPWyznaczenie współczynnika prostej prostopadłej:

a_{BC} = - 3

— ALBO zapisanie równania z dwiema niewiadomymi wynikającego z twierdzenia Pitagorasa albo z iloczynu skalarnego, np.

6 (x - 10) + 2 (y - 5) = 0

.

3

3 PKTPOKONANIE ZASADNICZYCH TRUDNOŚCIZapisanie równania z jedną niewiadomą, np.

2 x + 3 = - 3 (x - 10) + 5

.

4

4 PKTPRAWIE PEŁNEObliczenie jednej ze współrzędnych:

x = \frac{32}{5}

albo

y = \frac{79}{5}

— ALBO obliczenie obu z błędami rachunkowymi.

5

5 PKTWSPÓŁRZĘDNE — ODPOWIEDŹ

C = (\frac{32}{5}, \frac{79}{5})

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SIEDEM RÓŻNYCH DRÓG DO SUFITU 3 PKTSufit 3 pkt dostaje ten, kto realizuje strategię, ale popełnia dokładnie jeden z błędów: liczy

a_{A B}

jako

\frac{x _{A} - x _{B}}{y _{A} - y _{B}}

zamiast

\frac{y _{A} - y _{B}}{x _{A} - x _{B}}

; myli równanie prostej

BC

; zapisuje

∣ BC ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ A C ∣^{2}

; przyjmuje kąt prosty przy

A

; myli się przy podstawianiu do wzoru na odległość (choćby trzykrotnie); zamienia miejscami współrzędne

C

, pisząc

C = (2 x + 3, x)

; albo przyjmuje bez obliczeń błędny wyraz wolny w równaniu prostej

BC

.

!

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 2 PKT I ZEROZapisanie

∣ A B ∣^{2} = ∣ BC ∣^{2} + ∣ A C ∣^{2}

(czyli uznanie

A C

za przyprostokątną) — sufit 2 pkt. Wyznaczenie prostej prostopadłej do danej prostej

y = 2 x + 3

zamiast do

A B

— 0 punktów za całe zadanie, o ile nie ma innych punktowanych zapisów.

+

KLUCZ UZNAJE — BŁĘDY RACHUNKOWE I NADMIAROWY WYNIKRealizacja strategii z samymi błędami rachunkowymi, nieułatwiającymi zadania — 4 pkt. Podanie obok poprawnego rozwiązania także drugiego (np. z kątem prostym przy

A

) bez jego odrzucenia — sufit 4 pkt.

?

NIEISTNIEJĄCY WZÓR NA LIŚCIE BŁĘDÓW CKESchemat wymienia osobno zastosowanie „wzoru"

a + b = a + b

— sufit 3 pkt. To znak, że błąd pojawiał się na tyle często, by go skatalogować.

Rocznik 2017

3

24Sierpień 2017 · zadanie 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $C = (0, 0)$ jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego $A BC$ , którego wierzchołek $A$ leży na osi $O x$ , a wierzchołek $B$ na osi $O y$ układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka $C$ przecina przeciwprostokątną $A B$ w punkcie $D = (3, 4)$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ i $B$ tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej $A B$ .

25Czerwiec 2017 · zadanie 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (- 2, - 8)$ i $B = (14, - 8)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $A BC$ , w którym $∣ A B ∣ = ∣ A C ∣$ . Wysokość $A D$ tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu $y = \frac{1}{2} x - 7$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ tego trójkąta.

26Maj 2017 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są punkty $A = (- 4, 0)$ i $M = (2, 9)$ oraz prosta $k$ o równaniu $y = - 2 x + 10$ . Wierzchołek $B$ trójkąta $A BC$ to punkt przecięcia prostej $k$ z osią $O x$ układu współrzędnych, a wierzchołek $C$ jest punktem przecięcia prostej $k$ z prostą $A M$ . Oblicz pole trójkąta $A BC$ .

Rocznik 2016

2

27Sierpień 2016 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego $A BC$ : $A = (- 3, - 3)$ i $C = (2, 7)$ oraz prosta o równaniu $y = \frac{3}{4} x - \frac{3}{4}$ , zawierająca przeciwprostokątną $A B$ tego trójkąta. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$ tego trójkąta i długość odcinka $A B$ .

28Czerwiec 2016 · zadanie 27 · Formuła 2015 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są proste o równaniach $y = x + 2$ oraz $y = - 3 x + b$ , które przecinają się w punkcie leżącym na osi $O y$ układu współrzędnych. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki zawierają się w danych prostych, a trzeci jest zawarty w osi $O x$ .

Rocznik 2015

2

29Sierpień 2015 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach $A = (- 2, 2)$ , $B = (6, - 2)$ , $C = (10, 6)$ .

30Czerwiec 2015 · zadanie 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest trójkąt równoramienny $A BC$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ . Ponadto wiadomo, że $A = (- 2, 4)$ i $B = (6, - 2)$ . Wierzchołek $C$ należy do osi $O y$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ .