Bryły obrotowe — zadania otwarte z kluczem CKE

ZADANIA OTWARTE

Bryły obrotowe — otwarte

Rozwiąż na kartce, potem otwórz KLUCZ CKE: progi punktowe, drogi ALBO na ten sam próg i pułapki, za które schemat odbiera punkt. Meldunek UMIEM nalicza XP wg wagi zadania.

▮ WARSTWA OTWARTA: 5 ZADAŃ · 19 PKT CKE

Rocznik 2026

1Czerwiec 2026 · zadanie 27 · Formuła 2023 · ≡ zad. 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023FORMUŁA 2015

Odcinek $A D$ jest wysokością walca, a odcinek $A B$ jest średnicą podstawy walca. Odcinek $B D$ ma długość $43$ . Miara kąta $A B D$ jest równa $3 0^{\circ}$ (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.

Rocznik 2025

2Maj 2025 · zadanie 25 · Formuła 2023 · 3 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

Tworząca stożka ma długość $8$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $12 0^{\circ}$ . Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

3Maj 2025 · zadanie 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Tworząca stożka ma długość $8$ . Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $12 0^{\circ}$ . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka.

KLUCZ · 4 PKT

NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ

1 PKTJEDEN WYMIAR ALBO UKŁADZapisanie

r = 43

— ALBO

H = 4

— ALBO

r^{2} = 48

— ALBO układu pozwalającego obliczyć

r

H

(przez funkcje trygonometryczne, twierdzenie cosinusów albo pole trójkąta osiowego) — ALBO wyznaczenia objętości w zależności od

H

albo od

r

2 PKTOBA WYMIARY ALBO POLE

r = 43

(albo

r^{2} = 48

) wraz z

H = 4

— ALBO samo obliczenie pola powierzchni całkowitej — ALBO jeden wymiar wraz z wyrażeniem objętości przez ten wymiar — ALBO wyznaczenie objętości w zależności od tworzącej

l

3 PKTJEDNA Z DWÓCH SZUKANYCHObliczenie objętości

V = 64 π

— ALBO

H = 4

wraz z polem

P_{c} = 48 π + 32 π 3

— ALBO objętości wyrażonej przez

l

wraz z policzonym polem.

4 PKTOBIE WIELKOŚCI — ODPOWIEDŹ

V = \frac{1}{3} π (43)^{2} \cdot 4 = 64 π, P_{c} = π r (r + l) = 48 π + 32 π 3

PUŁAPKA (KLUCZ) — TRZY ZAŁOŻENIA ZERUJĄCE CAŁOŚĆ0 punktów za przyjęcie, że: trójkąt

SOB

jest równoboczny; wysokość stożka wynosi

8

; albo promień podstawy wynosi

8

. Tworząca ma

8

— to przeciwprostokątna, nie przyprostokątna.

PUŁAPKA (KLUCZ) — SUFIT 2 PKT ZA SZEŚĆ BŁĘDÓW, ZERO ZA DWASufit 2 pkt przy jednym z sześciu: zła definicja funkcji trygonometrycznej; złe twierdzenie Pitagorasa; złe twierdzenie cosinusów; „wzór"

x^{2} + y^{2} = x + y

; zamiana ról w trójkącie

30

–

60

–

90

(czyli

r = 4

H = 43

); albo uznanie

12 0^{\circ}

za kąt wycinka koła w siatce. Przy więcej niż jednym — 0 pkt.

DRUGA DROGA — TWIERDZENIE COSINUSÓW DLA TRÓJKĄTA OSIOWEGO

(2 r)^{2} = 8^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 8 cos 12 0^{\circ}

. Ponieważ

cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}

, wychodzi

4 r^{2} = 192

, czyli

r^{2} = 48

. Potem Pitagoras daje

H = 4

KĄT ROZWARCIA MIERZY SIĘ MIĘDZY TWORZĄCYMI, NIE MIĘDZY OSIĄ A TWORZĄCĄ

12 0^{\circ}

to pełny kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym. Wysokość dzieli go na pół, więc w trójkącie prostokątnym pracuje się z

6 0^{\circ}

Rocznik 2020

4Wrzesień 2020 · zadanie 33 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa $12$ . Oblicz objętość tego stożka.

Rocznik 2016

5Czerwiec 2016 · zadanie 32 · Formuła 2015 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest stożek o objętości $8 π$ , w którym stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy $3 : 8$ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.