Czynnik liniowy i trójmian
Rozważamy równania, które po rozłożeniu mają postać , gdzie . Czynnik liniowy daje jeden znany pierwiastek , a trójmian (o współczynnikach zależnych od parametru) – pozostałe. W żądaną liczbę różnych pierwiastków całego równania celujemy dwoma narzędziami naraz: deltą trójmianu oraz warunkiem na to, czy znany pierwiastek jest również pierwiastkiem trójmianu.
SKŁADOWADwa narzędzia: i delta trójmianu
Warunek miejsca zerowego
Liczbę wstawiamy do trójmianu i czytamy wynik:
| warunek | wniosek |
|---|---|
| jest pierwiastkiem | |
| nie jest pierwiastkiem |
Delta trójmianu
Dla czynnika z :
| delta | miejsca zerowe trójmianu |
|---|---|
| dwa różne | |
| dokładnie jedno (podwójne) | |
| brak |
SKŁADOWAPrzypadek – zawsze osobno
Przypadek a = 0
Jeśli współczynnik jest sparametryzowany, to dla trójmian degeneruje się do funkcji liniowej . Funkcja liniowa ma 1 lub 0 miejsc zerowych:
| współczynniki | miejsca zerowe |
|---|---|
| jedno: | |
| brak |
Ten przypadek rozważamy w zadaniach zawsze osobno – wartość zerująca dostaje własną gałąź analizy.
Delta + warunek na miejsce zerowe
Za pomocą delty i warunku na miejsce zerowe trafiamy w odpowiednią liczbę pierwiastków; często prowadzi to do kilku przypadków (alternatyw warunków), które rozpatrujemy osobno i łączymy. Dodatkowe warunki nałożone na same pierwiastki – znaki, wartości bezwzględne, wyrażenia symetryczne – dokładamy tak jak w module o funkcji kwadratowej (przez wzory Viète'a), a znany pierwiastek podstawiamy wprost.