Wielomiany 1 – czynnik liniowy — zadania maturalne: Czynnik liniowy, trójmian z parametrem
Równania postaci (x−r)(ax2+bx+c)=0 – w żądaną liczbę różnych pierwiastków celujemy deltą trójmianu i warunkiem q(r) jednocześnie.
6zadania maturalne
6z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Celem jest sam zapis: rozpoznanie znanego pierwiastka r, rozbicie na przypadki (Δ, ewentualnie a=0) oraz doprowadzenie dodatkowego warunku do postaci wzorów Viète'a. Wyznaczenie m to osobny krok.
Jak czytać zapis: nawias kwadratowy to alternatywa rozłącznych przypadków – wystarczy, że zachodzi jeden (tak liczymy „dokładnie dwa” i „dokładnie jedno”); klamra to koniunkcja – wszystkie warunki naraz („dokładnie trzy” oraz warunki dodatkowe). Pełne rozwiązanie – pod przyciskiem KLUCZ.
Zakres: liczba rozwiązań przez deltę i q(r); przy parametrze przy x2 – osobno przypadek a=0; warunki dodatkowe przez wzory Viète'a.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(x−3)(x2+(m−1)x−6m2+2m)=0
ma dokładnie dwa rozwiązania.
TRÓJKA JEST PIERWIASTKIEM ZAWSZE
„Dokładnie dwa” to albo Δ=0 przy q(3)=0, albo Δ>0 przy q(3)=0.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSTRATEGIA ALBO DELTAZapis, że 3 jest rozwiązaniem i musi być jednokrotnym pierwiastkiem trójmianu — ALBO warunek Δ=0 z x0=3 — ALBO rozwiązanie Δ=(5m−1)2=0: m=51.
2
2 PKTGAŁĄŹ DOMKNIĘTAm=51 ze sprawdzeniem, że podwójny pierwiastek x0=52=3 — ALBO pierwiastki trójmianu z modułem: x1,2=2−m+1∓∣5m−1∣.
3
3 PKTPIERWIASTKI BEZ MODUŁU ALBO RÓWNANIE NA TRÓJKĘx1=2m oraz x2=−3m+1 (dla każdego m) — ALBO32+(m−1)⋅3−6m2+2m=0
4
4 PKTALTERNATYWA PRZYPADKÓW(m=51im=23) lub (m=51im=23) lub (m=51im=−32) — ALBO rozwiązanie równania −6m2+5m+6=0: m=23 lub m=−32.
5
5 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹm∈{−32,51,23}
!
MAX 3 PKTCKEZapisanie Δ=(5m−1)2=5m−1 bez wartości bezwzględnej, konsekwentnie do końca.
z niewiadomą x i parametrem m∈R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie ma trzy rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku. Zapisz obliczenia.
SPRAWDŹ OSOBNO m = 2
Dla m=2 nawias przestaje być kwadratowy i zostają tylko dwa rozwiązania.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSPROWADZENIE DO TRÓJMIANULiczba 6 jest zawsze pierwiastkiem, więc równanie ma trzy różne rozwiązania tego samego znaku dokładnie wtedy, gdy trójmian ma dwa różne pierwiastki dodatnie, oba różne od 6.
2
2 PKTUKŁAD WARUNKÓWZapisanie warunków: m=2, Δ>0, x1x2>0, x1+x2>0 oraz podstawienie x=6 do trójmianu.
3
3 PKTTRZY WARUNKI ROZWIĄZANEΔ>0 daje m∈(−∞,−319)∪(−2,∞); ze wzorów Viète'a m∈(−∞,−1)∪(2,∞) oraz m∈(−∞,−3)∪(2,∞).
4
4 PKTWYKLUCZENIE SZÓSTKIZ_warunku 13m−143=0 wynika m=11; dla m=2 równanie jest liniowe i_odpada.
5
5 PKTCZĘŚĆ WSPÓLNA — ODPOWIEDŹPrzecięcie wszystkich warunków:m∈(−∞,−319)∪(2,11)∪(11,+∞)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wielomian W ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
JEDYNKA ZERUJE OBA CZYNNIKI
Tu q(1)=0 dla każdego m, więc W(x)=(x−1)2(x−(m−1)).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTROZPOZNANIE SYTUACJILiczba 1 jest pierwiastkiem, więc wielomian ma dokładnie jeden pierwiastek, gdy trójmian x2−mx+m−1 nie ma miejsc zerowych albo ma jedno równe 1.
2
2 PKTJEDEN Z WARUNKÓWRozwiązanie Δ<0 (sprzeczne) albo układu Δ=0 i_x0=1.
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
(x−4)[x2+(m−3)x+m2−m−6]=0
ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x1, x2 oraz x3, spełniające warunek
x1⋅x2⋅x3>x12+x22+x32−5m−51
CZWÓRKA NIE MOŻE BYĆ PODWÓJNA
Trzy różne pierwiastki wymagają naraz Δ>0 oraz q(4)=0.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 2+3+1
1
+1 PKTETAP I · DELTA ALBO WYKLUCZENIE CZWÓRKI⇒⇒Δ=(m−3)2−4(m2−m−6)>0(m−3)(−3m−11)>0m∈(−311,3)— ALBOm2+3m−2=0, czyli m=2−3−17 i m=2−3+17.
2
+2 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · OBA WARUNKI ISTNIENIAJednocześnie m∈(−311,3) oraz m=2−3±17.
3
+1 PKTETAP II · PODSTAWIENIE x3=4x1x2⋅4>x12+x22+16−5m−51
4
+2 PKTETAP II (ŁĄCZNIE) · NIERÓWNOŚĆ W m−[−(m−3)]2+6(m2−m−6)+5m+35>0po Viète'ach x1+x2=−(m−3), x1x2=m2−m−6 i tożsamości x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2.
5
+3 PKTETAP II (ŁĄCZNIE) · ROZWIĄZANIE NIERÓWNOŚCI⇒⇒5m2+5m−10>05(m−1)(m+2)>0m∈(−∞,−2)∪(1,+∞)
6
+1 PKTETAP III · CZĘŚĆ WSPÓLNA — ODPOWIEDŹm∈(−311,2−3−17)∪(2−3−17,−2)∪(1,3)Uwaga: 2−3+17≈0,56 i tak wypada poza (−∞,−2)∪(1,+∞), więc wycina tylko lewy przedział.
!
1 PKTCKEZERO ZA ETAP IRozważanie warunku Δ≥0 zamiast Δ>0.
!
MAX 4 PKTCKECałkowite pominięcie warunku x=4 dla trójmianu. Same błędy rachunkowe w tym warunku, konsekwentnie doprowadzone, ścinają do 5 pkt.
Na diagramie (rysunek obok) przedstawiono fragment wykresu wielomianu W określonego wzorem
W(x)=4x3−19x2−12x+18
dla każdego x∈R. Oblicz wszystkie pierwiastki wielomianu W.
[rysunek: fragment wykresu wielomianu W w pobliżu początku układu współrzędnych – krzywa opada i przecina oś Ox w okolicy x=0,75 (podziałka na osi Ox co 0,2, na osi Oy co 1)]
WYKRES PODPOWIADA KANDYDATA
Rysunek wskazuje pierwiastek blisko 0,75 — sprawdź x=43 i podziel.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTTWIERDZENIE O PIERWIASTKACH WYMIERNYCHKandydaci to ułamki qp, gdzie p∣18 i_q∣4; z_wykresu pierwiastek leży w_(53,54).
2
2 PKTSPRAWDZENIE I DZIELENIEJedyny kandydat w_tym przedziale to 43; sprawdzenie W(43)=0 i_dzielenie:W(x)=(x−43)(4x2−16x−24)
3
3 PKTWSZYSTKIE PIERWIASTKI — ODPOWIEDŹTrójmian daje pozostałe dwa:x=43,x=2−10,x=2+10