Szereg geometryczny – zadania maturalne z rozwiązaniami

ZADANIA

Zadania maturalne

Zanim zaczniesz: dwa filary. Warunek istnienia sumy: $∣ q ∣ < 1$ (sprawdzany ZAWSZE, także dla wyniku z parametrem). Równanie sumy: $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ . Reszta to algebra – układ na $(a_{1}, q)$ z danych albo nierówność $∣ q ∣ < 1$ na parametr.

Odruchy: najpierw $∣ q ∣ < 1$ , potem $S = \frac{a _{1}}{1 - q}$ ; sumy wyrazów co drugi/„sześciany wyrazów” to nowy ciąg geometryczny o ilorazie $q^{2}$ lub $q^{3}$ ; wynik z parametrem zawsze przecinaj z warunkiem zbieżności.

1matura · maj 2016 · zad. 7 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = (\frac{1}{2 x - 371})^{n}$ dla $n \geq 1$ . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , dla której nieskończony szereg $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ jest zbieżny.

2matura · czerwiec 2016 · zad. 6 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony dla $n \geq 1$ , w którym iloraz jest równy pierwszemu wyrazowi, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 12. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

3matura · lipiec 2020 · zad. 5 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Suma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu $(a_{n})$ .

4arkusz pokazowy CKE · marzec 2022 · zad. 3 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023ARKUSZ POKAZOWY

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma trzech początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa 7, a suma $S$ wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 8. Wyznacz wszystkie wartości $n$ , dla których spełniona jest nierówność $\frac{S - S _{n}}{S _{n}} < 0, 001$ gdzie $S_{n}$ oznacza sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ . Zapisz obliczenia.

5informator maturalny CKE 2021 · zad. 13 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023INFORMATOR MATURALNY

W nieskończonym malejącym ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , określonym dla $n \geq 1$ , jest spełniony warunek $\frac{a _{5} + a _{3}}{a _{3}} = \frac{29}{25}$ . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 6. Wyznacz wzór na $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ .

6matura · czerwiec 2022 · zad. 10 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , którego iloraz $q$ jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek $∣ q ∣ < 1$ . Stosunek sumy $S_{N}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy $S_{P}$ wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. $\frac{S _{N}}{S _{P}} = S_{N} - S_{P}$ . Oblicz $q$ .

7matura · czerwiec 2023 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

Dany jest nieskończony szereg geometryczny $2 x - \frac{6 x}{x - 1} + \frac{18 x}{( x - 1 ) ^{2}} - \frac{54 x}{( x - 1 ) ^{3}} + \dots$ Wyznacz wszystkie wartości zmiennej $x$ (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa $\frac{15}{2}$ . Zapisz obliczenia.

8matura · czerwiec 2024 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ o numerach nieparzystych jest równa 16, tj. $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots = 16$ . Ponadto $a_{1} + a_{3} = \frac{5}{2} \cdot a_{2}$ . Wyznacz wzór ogólny na $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ . Zapisz obliczenia.

9matura · maj 2025 · zad. 6 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

Ciąg $(a_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu $a_{1} + a_{3} = 20$ i $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 328$ . Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

10matura · czerwiec 2026 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

Nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $14$ . Suma sześcianów wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa $392$ .

Wyznacz wzór ogólny na $n$ -ty wyraz ciągu $(a_{n})$ . Zapisz obliczenia.

Szereg geometryczny — zadania maturalne: Szereg geometryczny
suma wszystkich wyrazów

Zadania maturalne

Suma wszystkich wyrazów – warunek zbieżności i równanie na S

Szereg geometryczny — zadania maturalne: Szereg geometrycznysuma wszystkich wyrazów

Zadania maturalne

Suma wszystkich wyrazów – warunek zbieżności i równanie na S

Szereg geometryczny — zadania maturalne: Szereg geometryczny
suma wszystkich wyrazów