Styczna do wykresu funkcji — zadania maturalne: Silnik działu: styczna
Trzynaście zadań rozbraja jeden wzór: y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) plus pochodna ilorazu liczona bez błędu. Dwa schematy – styczna w punkcie i styczna o zadanym nachyleniu – oraz wartość pochodnej wprost.
13zadań maturalnych
13z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Zanim zaczniesz: który schemat? Masz x0 (licz pochodną w punkcie) czy masz nachylenie m (rozwiąż f′(x)=m)? Iloraz – pilnuj kolejności w liczniku; „wykaż” – najpewniej Darboux albo znak f′. Panel WSKAZÓWKA podaje otwarcie, KLUCZ – strategię i wynik. Wszystkie wyniki liczbowe w kluczach tego tematu zweryfikowane symbolicznie (SymPy) przed publikacją.
Znasz x0: liczysz f(x0) i f′(x0), wstawiasz do y=f′(x0)(x−x0)+f(x0). Gdy dana jest tylko druga współrzędna – najpierw x0 z równania.
Punkt P=(10,2429) leży na paraboli o równaniu y=2x2+x+2219. Prosta o równaniu kierunkowym y=ax+b jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.
WSPÓŁCZYNNIK KIERUNKOWY TO f′(10)
Podstawiaj x0=10, a nie f(x0)=2429 — to najczęstsza pomyłka w tym zadaniu.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTNACHYLENIE STYCZNEJf′(x)=4x+1⇒a=f′(10)=41
2
2 PKTWYRAZ WOLNY — ODPOWIEDŹy−2429=41(x−10)⇒b=2019(równoważnie z Δ=0 dla układu prostej z parabolą).
!
MAX 1 PKTCKEBłąd w pochodnej (o ile wynik jest wielomianem stopnia 1 i a=f′(10) zinterpretowane poprawnie, konsekwentnie do końca) — albo przyjęcie x0=2429.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−1x2+3 dla każdej liczby rzeczywistej x=1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P=(−3,−3). Zapisz obliczenia.
POCHODNA ILORAZU W PUNKCIE −3
f′(x)=(x−1)22x(x−1)−(x2+3), a resztę robi punkt styczności.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x2+2x+83x2−2x dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P=(x0,3) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
MIANOWNIK NIE ZERUJE SIĘ NIGDY
x2+2x+8 ma ujemną deltę, więc f(x0)=3 wolno mnożyć na krzyż.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z DWÓCH RZECZY⇒⇒3=x02+2x0+83x02−2x03x02+6x0+24=3x02−2x0x0=−3— ALBOf′(x)=(x2+2x+8)2(6x−2)(x2+2x+8)−(3x2−2x)(2x+2).
2
2 PKTOBIE RZECZY NARAZx0=−3oraz pochodna, po uproszczeniu f′(x)=(x2+2x+8)28x2+48x−16.
3
3 PKTRÓWNANIE STYCZNEJ — ODPOWIEDŹa=f′(−3)=−118 a z 3=−118⋅(−3)+b mamy b=119. Styczna: y=−118x+119.
!
MAX 1 PKTCKEBłędne zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=2x3−4x2+9x dla każdego x∈R. Punkt P=(x0,18) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
ODCIĘTA I POCHODNA TO DWA PUNKTY
Równanie 2x03−4x02+9x0−18=0 rozkłada się przez grupowanie.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z DWÓCH RZECZY⇒⇒2x02(x0−2)+9(x0−2)=0(2x02+9)(x0−2)=0x0=2(bo 2x02+9>0) — ALBOf′(x)=6x2−8x+9.
2
2 PKTOBIE RZECZY NARAZx0=2orazf′(x)=6x2−8x+9.
3
3 PKTRÓWNANIE STYCZNEJ — ODPOWIEDŹa=f′(2)=24−16+9=17 a z 18=17⋅2+b mamy b=−16. Styczna: y=17x−16.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=xx3−3x+2 dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.
ROZBIJ UŁAMEK PRZED RÓŻNICZKOWANIEM
f(x)=x2−3+x2 — wtedy pochodną liczysz w pamięci.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOCHODNAf′(x)=x2(3x2−3)x−(x3−3x+2)⋅1=x22x3−2Klucz uznaje też postać po rozbiciu: f′(x)=2x−x22.
2
2 PKTWSPÓŁCZYNNIK KIERUNKOWYa=f′(2)=42⋅8−2=27
3
3 PKTWYRAZ WOLNY — ODPOWIEDŹf(2)=28−6+2=2 więc 2=27⋅2+b i b=−5.
!
MAX 1 PKTCKEBłędne zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu albo błędna pochodna x3−3x+2 lub x — chyba że mimo to a i b wyjdą bez błędu.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x−42x+1 dla każdej liczby rzeczywistej x=4. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x0,5) należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.
ODCIĘTA I POCHODNA PUNKTOWANE OSOBNO
Odciętą bierzesz z f(x0)=5, a nachylenie ze wzoru na pochodną ilorazu.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z DWÓCH RZECZY⇒⇒5=x0−42x0+15x0−20=2x0+1x0=7ALBO wyznaczenie pochodnej f′(x)=(x−4)22(x−4)−(2x+1)⋅1.
2
2 PKTOBIE RZECZY NARAZx0=7orazf′(x)=(x−4)22(x−4)−(2x+1)⋅1=(x−4)2−9.
Funkcja f jest określona wzorem f(x)=x4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f, która jest równoległa do prostej y=4x+7.
RÓWNOLEGŁA USTAWIA POCHODNĄ NA 4
Tu znasz nachylenie i szukasz x0 z równania f′(x0)=4.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOCHODNA FUNKCJIWspółczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w_punkcie styczności:f′(x)=4x3
2
2 PKTODCIĘTA PUNKTU STYCZNOŚCIRównoległość do prostej y=4x+7 wymusza f′(x0)=4, czyli 4x03=4 i_stąd x0=1.
3
3 PKTRÓWNANIE STYCZNEJ — ODPOWIEDŹPunkt styczności to (1,1), więc y=1+4(x−1):y=4x−3
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=x3−2x2+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej o równaniu y=4x.
RÓWNOLEGŁOŚĆ USTAWIA POCHODNĄ NA 4
f′(x0)=3x02−4x0=4 daje dwa punkty styczności, więc i dwie styczne.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTOTWARCIEf′(x)=3x2−4xalbof′(x0)=4
2
2 PKTOBA NARAZPochodna wyznaczona i warunek f′(x0)=4 zapisany — czyli równanie 3x02−4x0=4.
3
3 PKTPUNKTY STYCZNOŚCIx0=2∨x0=−32P1=(2,1)P2=(−32,−275)(wyraz wolny b z y=f′(x0)x+b liczy się jak druga współrzędna punktu styczności).
Styczna do paraboli o równaniu y=3x2−1 w punkcie P=(x0,y0) jest nachylona do osi Ox pod kątem 30∘. Oblicz współrzędne punktu P.
KĄT TO TANGENS, TANGENS TO POCHODNA
Nachylenie 30∘ znaczy f′(x0)=tg30∘=33.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWSPÓŁCZYNNIK ALBO POCHODNAa=tg30∘=33 (albo równanie stycznej y=33x+b) — ALBOf′(x)=23x.
2
2 PKTRÓWNANIE NA PUNKT STYCZNOŚCI23x0=33— ALBO (droga przez jedyny punkt wspólny) 3x2−33x−1−b=0 z warunkiem Δ=0.
3
3 PKTWSPÓŁRZĘDNE — ODPOWIEDŹP=(61,363−36)
!
MAX 2 PKTCKEBłędna WARTOŚĆ współczynnika przy poprawnej idei (a=tg30∘, ale np. a=3), konsekwentnie — albo kąt 150∘ zamiast 30∘ (czy obie styczne naraz) — albo wyłącznie błędy rachunkowe.
!
MAX 1 PKTCKEBłędna pochodna przy poprawnym współczynniku, konsekwentnie do końca — albo błędna interpretacja współczynnika (np. a=sinα czy a=21).
Dana jest funkcja f określona wzorem f(x)=xx3+k dla każdej liczby rzeczywistej x=0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y=−x jest styczna do wykresu funkcji f.
DWA WARUNKI STYCZNOŚCI NARAZ
Punkt leży na wykresie (−x0=f(x0)) i nachylenie się zgadza (f′(x0)=−1).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN WARUNEK STYCZNOŚCIf′(x)=x22x3−k — ALBO punkt na wykresie: −x0=x0x03+k — ALBO interpretacja geometryczna f′(x0)=−1.
2
2 PKTNACHYLENIE PODSTAWIONEx022x03−k=−1
3
3 PKTUKŁAD DWÓCH RÓWNAŃ−x0=x0x03+k∧x022x03−k=−1
4
4 PKTODCIĘTA PUNKTU STYCZNOŚCI3x03=−2x02⇒x0=−32(wystarczy rozwiązanie w R: x0=−32, x0=0).
MAX 1 PKTCKEBłąd w potędze zmiennej przy pochodnej albo traktowanie k jako zmiennej — zostaje punkt za warunek punktu na wykresie lub f′(x0)=−1. Zły znak przy k w pochodnej to tylko błąd rachunkowy.
k=−274
Czysto rachunkowe: policz f′(x) – pochodna ilorazu! – uporządkuj licznik i dopiero podstaw argument.