Równania trygonometryczne – wprowadzenie: teoria i metoda

PODSTAWA · PRZED METODAMI

Równania elementarne

Równanie $sin x = a$ , $cos x = a$ albo $tg x = b$ to cegła, do której sprowadza się wszystko trudniejsze. Rozwiązujesz je bez arcusów: ustalasz okres bazowy, znajdujesz w nim argumenty, mnożysz przez okres. Argumenty znajdujesz na dwa sposoby – z koła albo od miejsc zerowych.

SKŁADOWAWARTOŚCI SZCZEGÓLNE

Sinus i cosinus:

a \in {0, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{3}{2}, \pm 1}

(musi być

∣ a ∣ \leq 1

).
Tangens:

b \in {0, \pm \frac{3}{3}, \pm 1, \pm 3}

SKŁADOWAKROK 0 – OKRES BAZOWY

Zanim cokolwiek wyznaczysz – ustal okres bazowy. Dla sinusa i cosinusa weź np.

[0, 2 π)

. Cel: znajdź w tym przedziale argument lub argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość. Potem każde rozwiązanie zwielokrotnij przez okres.

SKŁADOWATRZY KLASY WARTOŚCI (sin, cos)

Dwie serie · okres 2πDla

a \in {\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{2}, \pm \frac{3}{2}}

funkcja trafia w wartość w dwóch punktach okresu bazowego → dwie serie, każda

+ 2 kπ

Jedna seria · okres 2πDla

a \in {\pm 1}

(szczyt albo dolina) jest jeden punkt → jedna seria

+ 2 kπ

Jedna seria · okres πDla

a = 0

(miejsca zerowe) punkty leżą co

π

, więc seria się skraca:

x = kπ

dla sinusa,

x = \frac{π}{2} + kπ

dla cosinusa.

SKŁADOWAMETODA 1 – Z KOŁA

W okresie bazowym wskaż argumenty wprost, ze znanych wartości:

Sinus

sin x = \frac{1}{2}

: w

[0, 2 π)

sinus równa się

\frac{1}{2}

dla

\frac{π}{6}

\frac{5 π}{6}

→

x = \frac{π}{6} + 2 kπ \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 kπ

Cosinus

cos x = \frac{1}{2}

: dla

\frac{π}{3}

\frac{5 π}{3}

→

x = \pm \frac{π}{3} + 2 kπ

Tangens

tg x = 3

tg \frac{π}{3} = 3

, okres

π

→

x = \frac{π}{3} + kπ

SKŁADOWAMETODA 2 – OD MIEJSC ZEROWYCH

Bez pamiętania pozycji na kole. Wykresy sinusa i cosinusa są identyczne, tylko przesunięte – więc od każdego miejsca zerowego przyrosty wartości są takie same. Idąc od zera o:

π/6

trafiasz w wartość

\pm \frac{1}{2}

π/4

trafiasz w wartość

\pm \frac{2}{2}

π/3

trafiasz w wartość

\pm \frac{3}{2}

Procedura: (1) ustal okres bazowy; (2) znajdź dwa zera obejmujące garb z żądanym znakiem; (3) od jednego zera idź o

\frac{π}{6}

(

\frac{π}{4}

\frac{π}{3}

), od drugiego w stronę tego samego garbu; (4)

+ 2 kπ

. Niżej dwanaście przypadków na wykresach – sinus i cosinus, każdy dla

\pm \frac{1}{2}

\pm \frac{2}{2}

\pm \frac{3}{2}

Sinus – sześć przypadków

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = \frac{1}{2}

Górny garb, od zer do środka. $x = \frac{π}{6} + 2 kπ \lor x = \frac{5 π}{6} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = - \frac{1}{2}

Dolny garb, od zer do środka. $x = \frac{7 π}{6} + 2 kπ \lor x = \frac{11 π}{6} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = \frac{2}{2}

Górny garb, od zer do środka. $x = \frac{π}{4} + 2 kπ \lor x = \frac{3 π}{4} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = - \frac{2}{2}

Dolny garb, od zer do środka. $x = \frac{5 π}{4} + 2 kπ \lor x = \frac{7 π}{4} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = \frac{3}{2}

Górny garb, od zer do środka. $x = \frac{π}{3} + 2 kπ \lor x = \frac{2 π}{3} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

sin x = - \frac{3}{2}

Dolny garb, od zer do środka. $x = \frac{4 π}{3} + 2 kπ \lor x = \frac{5 π}{3} + 2 kπ$

Cosinus – sześć przypadków

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = \frac{1}{2}

Boki, od zer na zewnątrz. $x = \pm \frac{π}{3} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = - \frac{1}{2}

Środek, od zer do wewnątrz. $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = \frac{2}{2}

Boki, od zer na zewnątrz. $x = \pm \frac{π}{4} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = - \frac{2}{2}

Środek, od zer do wewnątrz. $x = \pm \frac{3 π}{4} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = \frac{3}{2}

Boki, od zer na zewnątrz. $x = \pm \frac{π}{6} + 2 kπ$

SKŁADOWASKŁADOWA TEORII

cos x = - \frac{3}{2}

Środek, od zer do wewnątrz. $x = \pm \frac{5 π}{6} + 2 kπ$

SKŁADOWAUWAGA

\frac{3}{3} = \frac{1}{3} = tg \frac{π}{6}

– ta sama liczba, tylko z usuniętą niewymiernością z mianownika.

NARZĘDZIA · CO ROBISZ WZOREM

Funkcjonalność wzorów

Nie lista wzorów do wkucia, tylko ruchy – który wzór po co i na co pozwala. Każdy wzór to przejście z jednej postaci na drugą; tu zebrane te, które realnie ratują w równaniach. Reszta dojdzie.

SKŁADOWAJEDYNKA TRYGONOMETRYCZNA

Zamiana funkcjiZ jedynki:

sin^{2} x = 1 - cos^{2} x

oraz

cos^{2} x = 1 - sin^{2} x

. Po co – uzgadnianie funkcji: sprowadzasz sinusy i cosinusy do jednej funkcji, zanim w ogóle ruszysz z rozwiązaniem.

sin⁴x + cos⁴x → postać z sin²2xSkrócone mnożenie + jedynka:

sin^{4} x + cos^{4} x = (sin^{2} x + cos^{2} x)^{2} - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x cos^{2} x = 1 - 2 (\frac{1}{2} sin 2 x)^{2} = 1 - \frac{1}{2} sin^{2} 2 x

sin⁴x − cos⁴x → postać z cos2xRóżnica kwadratów + jedynka:

sin^{4} x - cos^{4} x = (sin^{2} x - cos^{2} x) (sin^{2} x + cos^{2} x) = sin^{2} x - cos^{2} x = - cos 2 x

Kontrast: w sumie wychodzi kwadrat (sin²2x), w różnicy pierwsza potęga (−cos2x). Ta sama jedynka, dwa różne mechanizmy.

SKŁADOWASUMA I RÓŻNICA KĄTÓW

Cztery wzory bazowe

sin (α + β) sin (α - β) cos (α + β) cos (α - β) = sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β - cos α sin β = cos α cos β - sin α sin β = cos α cos β + sin α sin β

Fundament – z nich wyprowadzasz podwojony kąt, zwijanie i zamianę sum na iloczyny.

Zwijanie a·sinx + b·cosx → jeden sinusPomysł prosty: współczynniki przy sinx i cosx to cos i sin pewnego kąta – wtedy wzór na sin sumy zwija je w jeden sinus. Na dwóch przypadkach:1) Współczynniki już są cos/sin kąta – idzie wprost, bez żadnych sztuczek. Bo

\frac{1}{2} = cos \frac{π}{3}, \frac{3}{2} = sin \frac{π}{3}

\frac{1}{2} sin x + \frac{3}{2} cos x = sin (x + \frac{π}{3})

2) Nie są (jak 1 i 1) – wyciągasz przed nawias ich długość

1^{2} + 1^{2} = 2

, żeby zeszły na okrąg jednostkowy i stały się cos/sin:

sin x + cos x = 2 (\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

I tyle. Ten wyciągany czynnik to po prostu długość wektora (a, b) – ogólną regułę i wersję kosinusową dorzucę w następnej partii.

SKŁADOWAKĄT PODWOJONY

Wyprowadzenie z sumy kątówNic nowego do uczenia – bierzesz wzór na sumę i kładziesz

α = β = x

sin 2 x = sin (x + x) cos 2 x = cos (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x = cos^{2} x - sin^{2} x

cos2x → jedna funkcjaSam

cos 2 x

ma trzy postacie – przez jedynkę przechodzisz na jedną funkcję:

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 1 - 2 sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1

Druga linia to sam sinus, trzecia sam cosinus. Po co – gdy w równaniu siedzi i sinus, i cosinus, sprowadzasz

cos 2 x

do tej funkcji, którą wolisz.

Postać iloczynowa i zwijanieZ różnicy kwadratów

cos 2 x

rozkłada się na iloczyn:

cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = (cos x - sin x) (cos x + sin x)

Postać

(cos x \pm sin x)

jest przydatna do grupowania wyrazów podobnych. W drugą stronę – każdą z tych postaci (cos²x−sin²x, 1−2sin²x, 2cos²x−1, iloczyn) zwijasz z powrotem w cos2x. Częsty, opłacalny ruch.

sin2x → iloczyn i z powrotemSam

sin 2 x

wyprowadziłeś wyżej; jego robota to spinanie iloczynu z jedną funkcją w obie strony:

2 sin x cos x = sin 2 x ⟺ sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x

Stąd każdy iloczyn sinusa i cosinusa zwijasz w jeden sinus podwojonego kąta – dokładnie tego użyłeś w sin⁴+cos⁴.

sin²2x → sam sinus albo sam cosinusPodnosisz

sin 2 x

do kwadratu i przez jedynkę pchasz w dowolną stronę:

sin^{2} 2 x = 4 sin^{2} x cos^{2} x = 4 sin^{2} x - 4 sin^{4} x = 4 cos^{2} x - 4 cos^{4} x = \frac{1 - c o s 4 x}{2}

Pierwsza postać to sam sinus, druga sam cosinus, trzecia – obniżenie potęgi do cos4x. Wybierasz tę, która pasuje do reszty równania. To samo

sin^{2} 2 x

siedzi w sin⁴+cos⁴ – koło się domyka.

SKŁADOWASUMY I ILOCZYNY

Suma → iloczyn (cztery wzory)

sin α + sin β sin α - sin β cos α + cos β cos α - cos β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} = 2 cos \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2} = 2 cos \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

Każda suma/różnica dwóch funkcji idzie na iloczyn – z połówkami kątów

\frac{α + β}{2}

\frac{α - β}{2}

. Uwaga na minus w cosα−cosβ.

Iloczyn → suma (trzy wzory)

sin α \cdot sin β cos α \cdot cos β sin α \cdot cos β = \frac{1}{2} [cos (α - β) - cos (α + β)] = \frac{1}{2} [cos (α + β) + cos (α - β)] = \frac{1}{2} [sin (α + β) + sin (α - β)]

Druga strona tego samego mostu – iloczyn rozbijasz na sumę albo różnicę kosinusów/sinusów.

Kiedy to stosowaćSumę na iloczyn – najczęściej, gdy:1) suma/różnica dwóch funkcji różnych kątów = 0. Iloczyn rozbija równanie na czynniki (każdy zerujesz osobno):

sin 3 x + sin x = 2 sin 2 x cos x = 0

2) są trzy funkcje, a średnia kątów

\frac{α + β}{2}

(albo

\frac{α - β}{2}

) trafia w argument trzeciej – grupujesz dwie w iloczyn, który dzieli argument z trzecią, i wyłączasz wspólny czynnik.Iloczyn na sumę – gdy suma albo różnica dwóch argumentów = argument trzeciej funkcji; zamiana na sumę pozwala posklejać i poskracać wyrazy.

Odgałęzienie: różne funkcje → redukcja + sumaA co, gdy funkcje są różne – jak

sin 5 x + cos 2 x = 0

? Suma na iloczyn wprost nie zadziała (chce dwóch sinusów albo dwóch cosinusów). Most: najpierw uzgadniasz funkcje wzorem redukcyjnym.Krok 1 – redukcja zamienia cosinus na sinus:

cos 2 x = sin (\frac{π}{2} - 2 x)

Krok 2 – teraz to suma dwóch sinusów, więc idzie na iloczyn:

sin 5 x + sin (\frac{π}{2} - 2 x) = 2 sin (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) cos (\frac{7 x}{2} - \frac{π}{4}) = 0

Iloczyn = 0 rozpada się na dwa elementarne równania:

sin (\frac{3 x}{2} + \frac{π}{4}) = 0 lub cos (\frac{7 x}{2} - \frac{π}{4}) = 0

Sedno: wzór redukcyjny był mostem – bez uzgodnienia funkcji ta suma w ogóle nie dałaby się zwinąć.

SKŁADOWATANGENS I COTANGENS

Definicje i dziedzinaTangens i cotangens to ilorazy – i z tego wynika cała reszta:

tg x ctg x = \frac{sin x}{cos x} (x \neq = \frac{π}{2} + k π) = \frac{cos x}{sin x} (x \neq = k π)

Dziedzina jest częścią zadania: tam, gdzie mianownik = 0, funkcji nie ma. Po podstawieniu definicji te zera (cos x = 0 albo sin x = 0) trzeba pilnować – żeby nie dopisać rozwiązania, którego oryginał nie miał.

Domyślnie: zejdź na sinus i cosinusW równaniu z tg/ctg domyślny ruch: podstawiasz definicje i sprowadzasz wszystko do sinusa i cosinusa – bo na nie masz cały arsenał (jedynka, podwojony kąt, sumy↔iloczyny). Np.

tg x + ctg x = 2

tg x + ctg x = \frac{sin ^{2} x + cos ^{2} x}{sin x cos x} = \frac{1}{sin x cos x} = 2 \Rightarrow sin x cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} sin 2 x = \frac{1}{2} \Rightarrow sin 2 x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{4} + k π

W środku zadziałała jedynka (sin²x+cos²x = 1) i podwojony kąt (sin x cos x = ½ sin 2x). To dlatego warto schodzić na sin/cos – tam leżą wszystkie narzędzia.

Wyjątek: gdy tangens robi się elementarnyJeden wyjątek od reguły: jeśli równanie da się sprowadzić do

tg x = a

(albo ctg x = a), nie komplikuj – to już równanie elementarne:

3 tg x = 3 \Rightarrow tg x = \frac{3}{3} \Rightarrow x = \frac{π}{6} + k π

Tu konwersja na sin/cos tylko by namieszała (√3·sin x = cos x i z powrotem do tangensa). Sedno reguły: na sin/cos zawsze – chyba że tangens sam izoluje się do postaci elementarnej.

SKŁADOWAJEDNO RÓWNANIE, TRZY DROGI

Przez tangens – dzielisz przez cos xRównanie

sin x + cos x = 0

rozwiążemy trzy razy, za każdym razem innym narzędziem z tej sekcji – wszystkie lądują w tym samym miejscu. Pierwsza droga: dzielisz przez cos x (wolno – gdyby cos x = 0, to sin x = ±1 i suma ≠ 0, więc nic nie tracisz):

sin x + cos x = 0 ⟹ tan x + 1 = 0 ⟹ tan x = - 1 ⟹ x = - \frac{π}{4} + k π

Przez zwijanie – mnożysz przez √2/2Mnożysz przez √2/2 (stała ≠ 0, równanie równoważne). Współczynniki stają się cos(π/4) i sin(π/4) – czyli gotowy wzór na sinus sumy:

\frac{2}{2} sin x + \frac{2}{2} cos x = 0 ⟹ sin (x + \frac{π}{4}) = 0 ⟹ x = - \frac{π}{4} + k π

Przez redukcję – cos na sinus, potem iloczynZamieniasz cosinus na sinus wzorem redukcyjnym,

cos x = sin (\frac{π}{2} - x)

, a potem sumę dwóch sinusów na iloczyn:

sin x + sin (\frac{π}{2} - x) = 2 sin \frac{π}{4} cos (x - \frac{π}{4}) = 2 cos (x - \frac{π}{4}) = 0 ⟹ x = \frac{3 π}{4} + k π

Trzy narzędzia – tangens, zwijanie, redukcja+suma – ta sama odpowiedź:

x = - \frac{π}{4} + k π

(czyli 3π/4 + kπ). Wybór drogi to kwestia wygody, nie poprawności.

Równania trygonometryczne — teoria i metoda: Najpierw metoda,potem rachunek

Równania elementarne

Funkcjonalność wzorów

Równania trygonometryczne — teoria i metoda: Najpierw metoda,
potem rachunek