Równania trygonometryczne — zadania maturalne: Najpierw metoda, potem rachunek
Trzy metody główne – jedna funkcja jednego argumentu, uzgodnienie argumentu do postaci iloczynowej, wzory na sumy i iloczyny – plus zwijanie i wzory redukcyjne na wsparciu. Dziedzina przed rachunkiem, warunek ∣t∣≤1 i przedział na końcu: selektory jak w ciągach.
40zadań maturalnych
40z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Zanim policzysz: nazwij metodę (M1/M2/M3, ewentualnie P1/P2 jako wsparcie) i policz pomysły ([1] czy [2]). Dziedzina przy tangensach i mianownikach – przed rachunkiem; ∣t∣≤1 i przedział – na końcu. Panel WSKAZÓWKA podaje ruch otwierający, KLUCZ – progi punktowania CKE i wynik.
Jedynka albo dobrana wersja cos2x, podstawienie t, kwadratowe – najliczniejsza rodzina rozdziału.
Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2sin2x−7cosx−5=0 należące do przedziału ⟨0,2π⟩.
JEDYNKA, POTEM SELEKTOR |t| ≤ 1
Podstaw sin2x=1−cos2x, a pierwiastek spoza ⟨−1,1⟩ odrzuć osobnym zdaniem.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA JEDNEGO ARGUMENTU2(1−cos2x)−7cosx−5=0lub2cos2x+7cosx+3=0
2
2 PKTTRÓJMIAN W POMOCNICZEJ NIEWIADOMEJt=cosx,t∈⟨−1,1⟩:2t2+7t+3=0Klucz nie wymaga jawnego zapisu warunku t∈⟨−1,1⟩, o ile z dalszego ciągu wynika, że jest uwzględniony.
3
3 PKTPIERWIASTKI I ODRZUCENIEt=−21∨t=−3(odrzucone: −3∈/⟨−1,1⟩, roˊwnanie cosx=−3 sprzeczne)
4
4 PKTROZWIĄZANIA W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx=32π∨x=34πKlucz honoruje zapis 120∘ i 240∘, a także rozwiązania ogólne z 2kπ — również za pełne 4 pkt.
!
CKEPIERWIASTKOWANIE I KWADRATOWANIEPodstawienie cosx=1−sin2x bez założeń — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. Kwadratowanie 2cos2x+3=−7cosx bez sprawdzenia rozwiązań — 0 pkt. Trójmian rozwiązany i stop bez odrzucenia −3 — 2 pkt. Błąd rachunkowy z co najmniej jednym pierwiastkiem w ⟨−1,1⟩ i konsekwentny finał — 3 pkt.
Po podstawieniu sin2x=1−cos2x jeden pierwiastek wypadnie poza ⟨−1,1⟩.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA JEDNEGO ARGUMENTU6(1−cos2x)+7cosx−1=0lub6cos2x−7cosx−5=0
2
2 PKTTRÓJMIAN W POMOCNICZEJ NIEWIADOMEJt=cosx,t∈⟨−1,1⟩:6t2−7t−5=0
3
3 PKTPIERWIASTKI I ODRZUCENIEt=−21∨t=35(odrzucone: 35∈/⟨−1,1⟩)
4
4 PKTROZWIĄZANIA W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx=32π∨x=34πKlucz honoruje zapis 120∘ i 240∘, a także rozwiązania ogólne z 2kπ — również za pełne 4 pkt.
!
CKEPIERWIASTKOWANIE I KWADRATOWANIEPodstawienie cosx=1−sin2x bez założeń — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. Kwadratowanie 6cos2x−5=7cosx bez sprawdzenia rozwiązań — 0 pkt. Trójmian rozwiązany i stop bez odrzucenia 35 — 2 pkt. Błąd rachunkowy w trójmianie z co najmniej jednym pierwiastkiem w ⟨−1,1⟩ i konsekwentny finał — 3 pkt.
Podstaw cos2x=2cos2x−1, a że nie ma przedziału, podaj pełne serie.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA JEDNEGO ARGUMENTU(2cos2x−1)+2=3cosxlub2cos2x−3cosx+1=0
2
2 PKTRÓWNANIA ELEMENTARNEcosx=1lubcosx=21(równoważnie t=1 lub t=21 po podstawieniu t=cosx, t∈⟨−1,1⟩).
3
3 PKTJEDNO Z RÓWNAŃ ROZWIĄZANEcosx=1:x=2kπalbocosx=21:x=3π+2kπ∨x=−3π+2kπ(k całkowite).
4
4 PKTKOMPLET SERII — ODPOWIEDŹx=2kπ∨x=3π+2kπ∨x=−3π+2kπ,k∈ZKlucz honoruje też zapis w stopniach: x=n⋅360∘ lub x=±60∘+n⋅360∘.
!
CKEBŁĄD W TRÓJMIANIEBłąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego, po którym co najmniej jedno z otrzymanych rozwiązań należy do ⟨−1,1⟩, i konsekwentne doprowadzenie do końca — 3 pkt.
Po cos2x=2cos2x−1 zostaje cosx(2cosx+1)=0 — wyłącz, nie dziel.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA JEDNEGO ARGUMENTU2cos2x+cosx=0
2
2 PKTALTERNATYWA RÓWNAŃ ELEMENTARNYCHcosx=0lubcosx=−21(równoważnie po podstawieniu t=cosx: t=0 lub t=−21).
3
3 PKTJEDNO Z RÓWNAŃ ROZLICZONE W PRZEDZIALEcosx=0:x=2π∨x=23πalbocosx=−21:x=32π∨x=34πTen sam próg za komplet rozwiązań ogólnych (z 2kπ) bez wyboru z przedziału.
4
4 PKTCZTERY ROZWIĄZANIA — ODPOWIEDŹx∈{2π,32π,34π,23π}
!
CKEDZIELENIE PRZEZ COS XPodzielenie 2cos2x+cosx=0 stronami przez cosx bez rozpatrzenia przypadków i poprawne rozwiązanie 2cosx+1=0 — sufit 2 pkt.
Rozwiąż równanie sin22x−4sin2x+1=0 w przedziale ⟨0,2π⟩.
ROZWIŃ sin 2x, POTEM PODSTAW
sin2x=2sinxcosx składa wszystko do sin4x=41.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA TEGO SAMEGO ARGUMENTUPo podstawieniu sin2x=2sinxcosx i_jedynki trygonometrycznej:4sin4x−4sin2x+1=0
2
2 PKTROZBICIE NA ALTERNATYWĘLewa strona to kwadrat: (2sin2x−1)2=0, więc sin2x=21 (przypadek sin2x=−21 odpada).Klucz uznaje też podstawienie pomocnicze t=sin2x wraz ze stwierdzeniem, że t=−21 nie odpowiada żadnemu x.
3
3 PKTJEDNA SERIA ROZWIĄZAŃZ_sinx=22 mamy x=4π lub x=43π; z_sinx=−22 — x=45π lub x=47π.Podanie rozwiązań w_postaci ogólnej (z_okresem 2kπ), bez zawężenia do przedziału, to 3 punkty.
4
4 PKTKOMPLET ROZWIĄZAŃ — ODPOWIEDŹW_przedziale ⟨0,2π⟩ równanie ma cztery rozwiązania:x=4π,x=43π,x=45π,x=47π
+
CKEIII SPOSÓB · PRZEZ COSINUS PODWOJONEGO KĄTAPodstawienie 2sin2x=1−cos2x prowadzi do cos2x(cos2x−2)=0, czyli cos2x=0 — najkrótsza droga w_całym kluczu.
Rozwiąż równanie cos2x+3cosx=−2 w przedziale ⟨0,2π⟩.
KĄT PODWOJONY NA COSINUSY
cos2x=2cos2x−1 zamienia to w kwadratowe, a t=cosx musi leżeć w ⟨−1,1⟩.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA, JEDEN ARGUMENT2cos2x−1+3cosx=−2
2
2 PKTDWA RÓWNANIA ELEMENTARNEcosx=−1lubcosx=−21
3
3 PKTPRAWIE KOMPLETJedno z równań elementarnych rozwiązane w ⟨0,2π⟩ — ALBO oba rozwiązane w R.
4
4 PKTKOMPLET W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx∈{32π,π,34π}
!
CKESUFITY ZA ZEPSUTĄ KWADRATÓWKĘBłąd w równaniu kwadratowym: wszystkie pierwiastki poza ⟨−1,1⟩ — sufit 1 pkt; dokładnie jeden w ⟨−1,1⟩ — sufit 2 pkt; dwa w przedziale — sufit 3 pkt.
!
CKEZERO ZA ZGADYWANIEPodanie liczb 32π, π, 34π bez uzasadnienia — 0 pkt; ze sprawdzeniem podstawieniem lub ilustracją — tylko 1 pkt.
Rozwiąż równanie 3cos2x+10cos2x=24sinx−3 dla x∈⟨0,2π⟩.
WSZYSTKO NA SINUSA
cos2x=1−2sin2x i cos2x=1−sin2x sprowadzają to do kwadratowego w sinx.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA FUNKCJA JEDNEGO KĄTA3−6sin2x+10−10sin2x−24sinx=−3
2
2 PKTKWADRATOWE ROZWIĄZANE2t2+3t−2=0⇒t=−2lubt=21
3
3 PKTSELEKCJA I SERIAsinx=−2 sprzeczne; seria rozwiązań sinx=21 w R: x=6π+2kπ lub x=65π+2kπ — ALBO jedno rozwiązanie w ⟨0,2π⟩.
4
4 PKTOBA ROZWIĄZANIA — ODPOWIEDŹx=6πlubx=65πKlucz: oba rozwiązania z przedziału bez komentarza o sinx=−2 to nadal pełne 4 pkt.
!
MAX 2 PKTCKEZły wzór na cos2x albo podstawienie cos2x→1−sinx, gdy kończy się na równaniu sinx=a z a∈(−1,0)∪(0,1) (przy a∈{−1,0,1} sufit spada do 1 pkt) — albo droga przez cos4 bez odrzucenia rozwiązań obcych 67π, 611π.
!
MAX 3 PKTCKEBłędy rachunkowe przed równaniami elementarnymi, gdy któreś z otrzymanych ma dwie serie rozwiązań w R.
Rozwiąż nierówność cos2x2cosx−3<0 w przedziale ⟨0,2π⟩.
KWADRAT NIE ZMIENIA ZNAKU, ALE ZERUJE
Potrzebujesz naraz cosx=0 oraz cosx<23.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTRÓWNOWAŻNA KONIUNKCJAcos2x=0∧2cosx−3<0
2
2 PKTJEDEN WARUNEK ROZWIĄZANYcosx=0 dla x=2π+kπ — ALBOcosx<23 rozwiązane w R: x∈(6π+2kπ,611π+2kπ) (czy w ⟨0,2π⟩: (6π,611π)).
3
3 PKTOBA WARUNKI ROZWIĄZANEx=2π+kπorazx∈(6π+2kπ,611π+2kπ)(także: oba warunki zapisane, ale suma bez wycięcia zer cosinusa).
4
4 PKTKOMPLET W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx∈(6π,2π)∪(2π,23π)∪(23π,611π)
!
CKESUFITYPodstawienie t=cosx z potraktowaniem zera jako pierwiastka JEDNOKROTNEGO, konsekwentnie — 2 pkt. Same rozwiązania równań cosx=0 czy cosx=23 w przedziale — 1 pkt; sam warunek x=2π+kπ — 1 pkt.
2 PKTALTERNATYWA RÓWNAŃ ELEMENTARNYCHsin2x=21∨cosx=1(roˊwnowaz˙nie sinx=±22 lub cos2x=0)
3
3 PKTJEDNO Z RÓWNAŃ ROZWIĄZANEKomplet rozwiązań jednego z równań alternatywy w przedziale.
4
4 PKTWSZYSTKIE ROZWIĄZANIA — ODPOWIEDŹx∈{0,4π,43π,45π,47π,2π}(oba końce przedziału ⟨0,2π⟩ należą do odpowiedzi).
!
CKEDZIELENIE PRZEZ 1−cos xRozwiązania ogólne bez wyboru z przedziału — 3 pkt. Podzielenie stronami przez 1−cosx BEZ założenia i rozwiązanie tylko 2sin2x−1=0 — 1 pkt za całość. Dzielenie z założeniem cosx=1, ale bez rozpatrzenia równania cosx=1 — 2 pkt.
Rozwiąż równanie (4sin2x−1)⋅sinx=cos2x−3sin2x, dla x∈(−π,0).
PRAWA STRONA TO PRZEBRANE 1 − 4sin²x
Po zauważeniu tego wspólny nawias (4sin2x−1) wyłącza się od razu.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTRÓWNANIE W SAMYM SINUSIE(4sin2x−1)sinx=1−4sin2x
2
2 PKTALTERNATYWAsinx=21∨sinx=−21∨sinx=−1
3
3 PKTZASADNICZE TRUDNOŚCIJedno z równań rozwiązane w przedziale (−π,0) — także: komplet rozwiązań przy nieodrzuconym sinx=21, albo rozwiązania ogólne bez zejścia do przedziału.
Rozwiąż równanie sin6x+cos3x=2sin3x+1 w przedziale ⟨0,π⟩.
KĄT PODWOJONY, POTEM WSPÓLNY NAWIAS
sin6x=2sin3xcos3x i całość grupuje się do (2sin3x+1)(cos3x−1)=0.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTKĄT PODWOJONY2sin3xcos3x+cos3x=2sin3x+1
2
2 PKTDWA RÓWNANIA ELEMENTARNEsin3x=−21lubcos3x=1
3
3 PKTSERIE W Rx=187π+32kπlubx=1811π+32kπlubx=32kπ— ALBO oba równania elementarne i jedno z nich rozwiązane w ⟨0,π⟩.
4
4 PKTKOMPLET W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx∈{0,187π,1811π,32π}
!
MAX 3 PKTCKEIloczyn z błędnym znakiem stałej, konsekwentnie rozwiązany w przedziale (w R — sufit 2 pkt) — albo rozwiązania zostawione dla α=3x w ⟨0,3π⟩ bez powrotu do x — albo jedna z dwóch serii sinusa zgubiona.
!
MAX 2 PKTCKETylko jedno z równań elementarnych, rozwiązane w przedziale (w R — 1 pkt).
1 PKTPOSTAĆ ILOCZYNOWA ROZPOCZĘTA2sinx(2sin2x+cosx−2sinxcosx−sinx)=0— po zamianie sin2x=2sinxcosx, przeniesieniu na jedną stronę i wyciągnięciu 2sinx.
2
2 PKTPEŁNY ILOCZYN2sinx(sinx−cosx)(2sinx−1)=0(równoważnie z trójmianem kwadratowym względem sinx i parametrem cosx: Δ=(2cosx−1)2).
3
3 PKTDWA RÓWNANIA ROZWIĄZANEPoprawne rozwiązania dwóch spośród: sinx=0, 2sinx−1=0, sinx−cosx=0.
4
4 PKTCZTERY SERIE — ODPOWIEDŹx=kπlubx=4π+kπlubx=6π+2kπlubx=65π+2kπ,k∈Z
!
MAX 2 PKTCKEDzielenie przez sinx albo przez (2sinx−1) bez rozważenia zera tego wyrażenia (przez oba naraz — zero za całość) — albo fałszywe tożsamości typu cos2x=1−sinx.
!
MAX 3 PKTCKEPodanie pojedynczych rozwiązań zamiast serii (bez okresowości) — albo podstawienie sinxcosx=tgx⋅cos2x bez komentarza o cosx=0.
Rozwiąż równanie cos2x=22(cosx−sinx) w przedziale ⟨0,π⟩.
PRAWA STRONA TO cos(x + π/4)
Po zwinięciu zostaje równość cosinusów, więc dwie serie rozwiązań.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTROZBICIE ALBO ZWINIĘCIEAlternatywa cosx−sinx=0 lub cosx+sinx=22 — ALBO postać iloczynowa (cosx−sinx)(cosx+sinx)=22(cosx−sinx) — ALBO zapis prawej strony jako cosinusa sumy.
2
2 PKTJEDNO RÓWNANIE OPANOWANEAlternatywa z progu 1 plus jedno z: rozwiązane cosx=sinx (x=4π+kπ), postać cos(4π−x)=21, sprowadzenie przez jedynkę do jednej funkcji — ALBOcos2x=cos(x+4π)
3
3 PKTSERIA W GARŚCIRozwiązane cosx=sinx plus postać cos(4π−x)=21 (albo równanie kwadratowe z jedynki) — ALBO jedna z serii 2x=x+4π+2kπ lub 2x=−(x+4π)+2kπ — ALBO różnica cosinusów do postaci iloczynu sinusów.
4
4 PKTOBIE SERIEObie serie: x=4π+2kπ oraz x=−12π+32kπ (albo równoważnie: rozwiązane cosx=sinx w ⟨0,π⟩ i dwie serie drugiego równania).
5
5 PKTWYNIK W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx=4πlubx=127π
!
MAX 3 PKTCKEDzielenie przez (cosx−sinx) bez rozstrzygnięcia zera (błąd merytoryczny, dokończone) — albo błąd przepisania wzoru trygonometrycznego — albo analiza starożytnych (kwadratowanie) bez odrzucenia rozwiązań obcych.
3 PKTJEDNO Z RÓWNAŃRozwiązanie sinx=cosx (czyli tgx=1) albo sinx=−21 w_podanym przedziale.Podzielenie równania przez (cosx−sinx) bez założeń ogranicza wynik do 2 punktów.
Zapisz [sin6x−sin2x]−sin2x — wtedy sin2x wyłącza się przed nawias.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTROZKŁAD (DROGA: RÓŻNICA SINUSÓW)sin(6x)−sin(2x)−sin(2x)=0 czyli 2cos(4x)sin(2x)−sin(2x)=0.
=
1 PKTTA SAMA WYSOKOŚĆ PROGUWzór na sinus sumy: sin(4x)cos(2x)+cos(4x)sin(2x)−2sin(2x)=0 — ALBO wzór na sinus potrojonego kąta: −4sin3(2x)+3sin(2x)−2sin(2x)=0.
2
2 PKTALTERNATYWA RÓWNAŃ PROSTYCHsin(2x)[2cos(4x)−1]=0 czyli sin(2x)=0 lub cos(4x)=21. Klucz uznaje też postacie: cos2(2x)=43, cos(2x)=±23, 4sin2(2x)−1=0.
3
3 PKTJEDNA SERIA ROZWIĄZANA W R⇒⇒sin(2x)=02x=πkx=2πk — albo rozwiązanie drugiego równania alternatywy.
4
4 PKTWSZYSTKIE SERIE — ODPOWIEDŹcos(4x)=21⇒4x=±3π+2πk czyli x=±12π+2πk. Razem: x=2πk∨x=12π+2πk∨x=−12π+2πk, k∈Z.
+
CKERÓWNOWAŻNE ZAPISY, KTÓRE KLUCZ TEŻ PRZYJMUJEPrzez sinus sumy: 2πk, ±125π+πk, ±12π+πk. Przez sinus potrojonego kąta: 2πk, 12π+πk, 125π+πk, 127π+πk, 1211π+πk. To te same liczby, inaczej pogrupowane.
+
3 PKTCKEZA SAMO PODSTAWIENIEJeżeli przyjmiesz u=2x i rozwiążesz sin(3u)−2sinu=0, a potem skończysz albo zaczniesz się mylić — i tak dostajesz 3 punkty.
!
MAX 2 PKTCKEBłędy nierachunkowe prowadzące do sin(2x)⋅f(x)=0 bez spełnienia kryterium za 1 pkt → najwyżej 1 pkt. Jeśli kryterium za 1 pkt było spełnione wcześniej → 2 pkt. Błędy rachunkowe dające f bez miejsc zerowych (lub z jedną serią) → najwyżej 2 pkt.
x=2πk∨x=±12π+2πk,k∈Z
Parowanie po średniej argumentów; tu mieszka najtwardsze zadanie rozdziału (arch. 4.47, 5 pkt).
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równanie sin5x−sinx=0.
RÓŻNICA SINUSÓW NA ILOCZYN
Wzór zamienia równanie w 2cos3xsin2x=0.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOSTAĆ ILOCZYNOWAWzór na różnicę sinusów sinα−sinβ=2sin2α−βcos2α+β sprowadza równanie do postaci:2sin2xcos3x=0
2
2 PKTJEDNA SERIA ROZWIĄZAŃRozwiązanie jednego z_czynników — sin2x=0 daje x=2kπ, a_cos3x=0 daje x=6π+3kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.
3
3 PKTOBIE SERIE — ODPOWIEDŹZapisanie wszystkich rozwiązań równania:x=2kπlubx=6π+3kπ,k∈Z
+
CKEPUŁAPKI PUNKTOWE Z KLUCZASam zapis 5x=x to 0 punktów. Zapis 5x=x oraz 5x=π−x (bez okresu) — 1 punkt. Jedna pełna seria rozwiązań zamiast dwóch — 2 punkty. Klucz honoruje też II sposób: z_własności funkcji sinus 5x=x+2kπ lub 5x=π−x+2kπ.
2 PKTALTERNATYWA RÓWNAŃ ELEMENTARNYCHsinx=0lubcosx=21— ALBOsin2x=sinx z jedną z zależności kątów: 2x=x+2kπ lub 2x=π−x+2kπ — ALBO jedno z równań elementarnych rozwiązane do końca.
3
3 PKTJEDNA RODZINA OPANOWANARozwiązane sinx=0 (x=kπ) lub cosx=21 (x=±3π+2kπ) — ALBO obie zależności kątów z sin2x=sinx.
4
4 PKTKOMPLET SERII — ODPOWIEDŹx=kπlubx=3π+2kπlubx=−3π+2kπ,k∈Z(równoważnie: x=3π+32kπ lub x=2kπ).
!
MAX 2 PKTCKEBłąd we wzorze (suma sinusów, sinus sumy/różnicy, kąt podwojony) albo dzielenie przez sinx bez przypadku sinx=0 — przy co najmniej dwóch seriach na końcu. Podstawienie cosx=1−sin2x czy kwadratowanie bez sprawdzenia — też sufit 2 pkt.
!
MAX 3 PKTCKEBłędna wielokrotność π w części serii — o ile komplet z przedziału domkniętego długości 2π jest obecny.
Rozwiąż równanie 4sin7xcos2x=2sin9x−1 w przedziale ⟨0,π⟩.
LEWA STRONA TO SUMA SINUSÓW
2sin7xcos2x=sin9x+sin5x, więc sin9x się skasuje.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWZÓR NA SUMĘ2sin7xcos2x=sin9x+sin5x(równoważnie: rozpisanie sin9x=sin(7x+2x) i redukcja).
2
2 PKTRÓWNANIE ELEMENTARNEsin5x=−21
3
3 PKTSERIE W R5x=67π+2kπlub5x=611π+2kπ,k∈Z
4
4 PKTCZTERY ROZWIĄZANIA — ODPOWIEDŹx∈{307π,3011π,3019π,3023π}
!
MAX 2 PKTCKESerie zapisane dla kąta x zamiast 5x — albo błąd we wzorze na sumę sinusów / sinus sumy (przy czterech rozwiązaniach w przedziale; przy samych dwóch seriach w R — sufit 1 pkt).
!
MAX 3 PKTCKEZła wielokrotność π w seriach dla 5x (o ile co najmniej dwa rozwiązania z przedziału są obecne) — albo tylko jedna z dwóch serii, konsekwentnie do końca.
1 PKTROZPISANIE4sin(4x)cos(6x)=2[sin(10x)−sin(2x)]— ALBO przez sinus sumy: sin(10x)=sin(6x)cos(4x)+cos(6x)sin(4x).
2
2 PKTRÓWNANIE ELEMENTARNE−2sin(2x)=1⇒sin(2x)=−21
3
3 PKTSERIE — ODPOWIEDŹ2x=67π+2kπ lub 2x=611π+2kπ, czyli x=127π+kπlubx=1211π+kπgdzie k∈Z.
!
MAX 1 PKTCKEBłąd rachunkowy dający tylko jedną serię rozwiązań — albo jednokrotny błąd we wzorach na sumę/różnicę sinusów lub w parzystości funkcji, przy konsekwentnym dokończeniu.
Rozwiąż równanie sin(4x)−sin(2x)=4cos2x−3 w przedziale [0,2π].
PRAWA STRONA TO 2cos 2x − 1
Lewa po rozpisaniu daje sin2x(2cos2x−1) — ten sam nawias po obu stronach.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPIERWSZE ROZPISANIE2sin(2x)cos(2x)−sin(2x)=4cos2x−3— albo doprowadzenie prawej strony do 2cos(2x)−1.
2
2 PKTTEN SAM NAWIAS PO OBU STRONACHsin(2x)[2cos(2x)−1]=2cos(2x)−1
3
3 PKTPOSTAĆ ILOCZYNOWA[sin(2x)−1][2cos(2x)−1]=0czyli sin(2x)=1 lub cos(2x)=21.
4
4 PKTJEDNO Z RÓWNAŃ ROZWIĄZANEsin(2x)=1⇒x=4π+kπ w [0,2π]: 4π, 45π. cos(2x)=21⇒x=±6π+kπ, w [0,2π]: 6π, 65π, 67π, 611π.
5
5 PKTWSZYSTKIE SZEŚĆ LICZB — ODPOWIEDŹ6π,4π,65π,67π,45π,611π
!
MAX 3 PKTCKEPodzielenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą bez rozważenia przypadku, gdy jest ono zerem — albo jednokrotny błąd we wzorach trygonometrycznych przy konsekwentnym dokończeniu.
!
MAX 4 PKTCKEBłędy wyłącznie rachunkowe przed uzyskaniem równań elementarnych, jeśli co najmniej jedno z nich ma dwie serie rozwiązań.
2π WYSTĘPUJE W OBU GAŁĘZIACHTo jedno rozwiązanie, nie dwa: przy zbieraniu odpowiedzi z gałęzi duplikaty muszą się skleić, a zgubienie któregokolwiek z pięciu punktów przedziału kosztuje ostatni próg.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie sin5x−sinx=0.
RÓŻNICA SINUSÓW NA ILOCZYN
Wzór sinα−sinβ=2cos2α+βsin2α−β rozbija to na czynniki.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOSTAĆ ILOCZYNOWAWzór na różnicę sinusów sinα−sinβ=2sin2α−βcos2α+β sprowadza równanie do postaci:2sin2xcos3x=0
2
2 PKTJEDNA SERIA ROZWIĄZAŃRozwiązanie jednego z_czynników — sin2x=0 daje x=2kπ, a_cos3x=0 daje x=6π+3kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą.
3
3 PKTOBIE SERIE — ODPOWIEDŹZapisanie wszystkich rozwiązań równania:x=2kπlubx=6π+3kπ,k∈Z
+
CKEPUŁAPKI PUNKTOWE Z KLUCZASam zapis 5x=x to 0 punktów. Zapis 5x=x oraz 5x=π−x (bez okresu) — 1 punkt. Jedna pełna seria rozwiązań zamiast dwóch — 2 punkty. Klucz honoruje też II sposób: z_własności funkcji sinus 5x=x+2kπ lub 5x=π−x+2kπ.
Trzy zadania, w których zwijanie asinθ+bcosθ→Rsin(θ+φ) nie wspiera, tylko prowadzi.
Rozwiąż równanie 3⋅cosx=1+sinx w przedziale x∈⟨0,2π⟩.
ZWIŃ LEWĄ STRONĘ DO JEDNEJ FUNKCJI
3cosx−sinx po podzieleniu przez 2 to gotowy cos(x+6π).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPOSTAĆ RÓWNOWAŻNAsin3πcosx−cos3πsinx=21ALBOcos6πcosx−sin6πsinx=21ALBO po kwadratowaniu z założeniem cosx≥0: 2sin2x+sinx−1=0.
2
2 PKTRÓWNANIE ELEMENTARNEsin(3π−x)=21albocos(x+6π)=21ALBO alternatywa sinx=−1 lub sinx=21 z drogi przez kwadratowanie.
3
3 PKTSERIE ROZWIĄZAŃ W Rx=6π+2kπ∨x=23π+2kπ,k∈Z(na drodze przez sinus dodatkowo seria x=65π+2kπ — do odrzucenia sprawdzeniem).
4
4 PKTWYBÓR Z PRZEDZIAŁU — ODPOWIEDŹx=6π∨x=23π
!
CKEJEDNA SERIA ALBO ŚLEPE KWADRATOWANIEJedna seria rozwiązań i konsekwentnie jedno rozwiązanie z przedziału — sufit 3 pkt. Kwadratowanie bez warunku cosx≥0 przepuszcza x=65π, dla którego lewa strona jest ujemna — rozwiązanie fałszywe.
Rozwiąż równanie 3sin(x−4π)+cos(x+4π)=1 w przedziale ⟨0,2π⟩.
COSINUS PRZEBRANY ZA SINUS Z MINUSEM
cos(x+4π)=−sin(x−4π) zwija równanie w jeden krok.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTREDUKCJA COSINUSA3sin(x−4π)+sin(2π−x−4π)=1— w drodze przez rozpisanie: postać sinx−cosx=22.
2
2 PKTRÓWNANIE ELEMENTARNEsin(x−4π)=21— w drodze z kwadratowaniem: sin2x=21 z warunkiem sinx>cosx.
3
3 PKTSERIE W Rx=125π+2kπlubx=1213π+2kπ(wystarczy x−4π=6π+2kπ lub x−4π=65π+2kπ).
4
4 PKTKOMPLET W PRZEDZIALE — ODPOWIEDŹx=125πlubx=1213π
!
MAX 2 PKTCKEKwadratowanie stron bez zapisania warunku sinx>cosx (metody analizy starożytnych) i bez sprawdzenia kandydatów — z czterech rozwiązań sin2x=21 dwa są obce (12π i 1217π) i muszą wylecieć.
Rozwiąż równanie 3cos2x+3sin(2x)−3sin2x=0 w przedziale [−π,π]. Zapisz obliczenia.
JEDNORODNE — DZIELISZ, WIĘC ZAŁÓŻ
Dzielenie przez cos2x daje kwadratowe w tgx, ale przypadek cosx=0 zapisz osobno.
KLUCZ I · PRZEZ TANGENS
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJWŁASNA SKALA CKE
1
1 PKTPOSTAĆ KWADRATOWA W tgxPo sin(2x)=2sinxcosx i podzieleniu przez cos2x: −3tg2x+23tgx+3=0 — ALBO samo uzasadnienie, że liczby 2π+πk nie spełniają równania — ALBO rozkład (3cosx+sinx−2sinx)(3cosx+sinx+2sinx)=0.
3 PKTZAŁOŻENIE + ROZWIĄZANIE W Rcosx=0 oraz x=3π+πk i x=−6π+πk, k∈Z — ALBO alternatywa równań wraz z rozwiązaniem jednego z nich w [−π,π] — ALBO alternatywa wraz z uzasadnieniem, że 2π+πk nie są rozwiązaniami.
4
4 PKTZAŁOŻENIE + CZTERY LICZBY W PRZEDZIALEcosx=0 oraz rozwiązania w [−π,π]: −32π, −6π, 3π, 65π.
5
5 PKTPEŁNA ODPOWIEDŹPrzypadek x=2π+πk sprawdzony osobno: równanie przyjmuje postać −3=0, więc rozwiązań tam nie ma. Ostatecznie: −32π, −6π, 3π, 65π.
!
MAX 3 PKTCKEPodzielenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą bez zapisania założenia, że jest ono różne od zera (i bez rozważenia przypadku, gdy jest zerem).
!
CKEANALIZA STAROŻYTNYCHPodniesienie stron do kwadratu bez sprawdzenia rozwiązań → najwyżej 3 pkt; z odrzuceniem przynajmniej jednego rozwiązania obcego (ale nie wszystkich) → najwyżej 4 pkt.
−32π,−6π,3π,65π
KLUCZ II · PRZEZ COSINUS PODWOJONEGO KĄTA
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJWŁASNA SKALA CKE
1
1 PKTZWINIĘCIE DO PODWOJONEGO KĄTA3cos2x−3sin2x=3cos(2x) oraz 3sin(2x), więc 3cos(2x)+3sin(2x)=0 — ALBO rozkład (3cosx+sinx)2−4sin2x=0.
2
2 PKTNORMALIZACJAPo podzieleniu przez 23: 23cos(2x)+21sin(2x)=0 — ALBO alternatywa cos(6π+x)=0 lub 3cosx+3sinx=0.
3
3 PKTJEDNO RÓWNANIE ELEMENTARNEsin(3π+2x)=0 — ALBOcos(6π−2x)=0 — ALBO rozwiązanie jednego z równań alternatywy w R.
DLACZEGO TA DROGA JEST TAŃSZANie dzielisz przez nic, co może być zerem — więc odpada cały koszt zakładania cosx=0 i rozpatrywania przypadku osobno. Trzy progi zamiast pięciu kroków.