Optymalizacja

Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku długości $4$. Rozważamy wszystkie trójkąty $DEF$ spełniające jednocześnie następujące warunki: punkt $E$ leży na boku $AB$ kwadratu $ABCD$, punkt $F$ leży na boku $BC$ kwadratu $ABCD$, $|CF|=\frac{1}{2}\cdot |EB|=x$, gdzie $x\in (0,2)$ (zobacz rysunek). Niech $P(x)$ oznacza pole trójkąta $DEF$ w zależności od długości $x$ odcinka $CF$.

Wyznacz wzór funkcji $P$ zmiennej $x$, gdzie $x\in (0,2)$. Oblicz długość $x$ odcinka $CF$, dla której pole trójkąta $DEF$ jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.

Hotel ma do dyspozycji gości $80$ pokoi jednoosobowych. Właściciel hotelu przeanalizował wpływ ceny za dobę hotelową na liczbę wynajętych pokoi i stwierdził, że przy wyjściowej cenie wynoszącej $120$ zł za jedną dobę hotelową wszystkie pokoje są wynajęte, a każdy wzrost ceny za dobę hotelową o $5$ zł skutkuje spadkiem liczby wynajmowanych pokoi o $1$. Przyjmijmy, że dobowy przychód $P$ hotelu z wynajmowania pokoi, w zależności od podwyżki ceny wyjściowej za dobę hotelową o $5x$ złotych, opisuje funkcja

$$P(x)=(80-x)(120+5x)$$

gdzie $x$ jest liczbą całkowitą spełniającą warunki $x\ge 0$ i $x\le 80$.

Oblicz, jaka powinna być cena wynajęcia jednoosobowego pokoju (za dobę hotelową), aby dobowy przychód hotelu z wynajmowania pokoi był największy. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek). Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ jest równa $12$. Wyznacz $x$ oraz $y$, dla których wartość wyrażenia $2x^2+y^2$ jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.

Oblicz wymiary $x$ oraz $y$ jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.

Zakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po $196$ złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że przychód $P$ (w złotych) ze sprzedaży $x$ krzeseł można opisać funkcją $P(x)=196x$, a koszt $K$ (w złotych) produkcji $x$ krzeseł dziennie można opisać funkcją $K(x)=4x^2+4x+240$. Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej $30$ krzeseł.

Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

Działka ma kształt trapezu. Podstawy $AB$ i $CD$ tego trapezu mają długości $|AB|=400$ m oraz $|CD|=100$ m. Wysokość trapezu jest równa $75$ m, a jego kąty $DAB$ i $ABC$ są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie $AB$ tego trapezu, a dwa pozostałe — $E$ oraz $F$ — na ramionach $AD$ i $BC$ trapezu (zobacz rysunek).

Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu $ABCD$ jest sumą pól trapezów $ABFE$ oraz $EFCD$: $P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}$.

Liczby rzeczywiste $x$ i $z$ spełniają warunek $2x+z=1$. Wyznacz takie wartości $x$ i $z$, dla których wyrażenie $x^2+z^2+7xz$ przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.