Dowody geometryczne

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ punkt $D$ leży na boku $AB$, a punkt $E$ leży na boku $AC$. Odcinek $BE$ jest środkową trójkąta $ABC$, a odcinek $CD$ jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki $DB$ oraz $DE$ mają równe długości (zobacz rysunek). Wykaż, że $|\sphericalangle CAB|=2\cdot |\sphericalangle ABE|$.

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM|=a$ oraz $|LM|=b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\frac{a}{b}$.

Dwa okręgi o promieniach $r=2$ i $R=6$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej $k$. Wykaż, że prosta $l$ przechodząca przez środki $S$ i $P$ tych okręgów przecina prostą $k$ pod kątem $\alpha =30^{\circ }$ (zobacz rysunek).

Bok $AB$ jest średnicą, a punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$. Punkt $D$ leży na tym okręgu, a odcinek $SD$ zawarty jest w symetralnej boku $BC$ trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odcinek $AD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $CAB$.

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE|=\frac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $|CF|=\frac{9}{16}|CB|$.

Wierzchołki $A$ i $C$ trójkąta $ABC$ leżą na okręgu o promieniu $r$, a środek $S$ tego okręgu leży na boku $AB$ trójkąta (zobacz rysunek). Prosta $BC$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $C$, a ponadto $|AC|=r\sqrt{3}$. Wykaż, że kąt $ACB$ ma miarę $120^{\circ }$.

Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $S$ jest środkiem boku $AB$ tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odległości punktów $A$ i $B$ od prostej $CS$ są równe.

Dany jest okrąg o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$. Na przedłużeniu cięciwy $AB$ poza punkt $B$ odłożono odcinek $BC$ równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty $C$ i $S$ poprowadzono prostą. Prosta $CS$ przecina dany okrąg w punktach $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta $ACS$ jest równa $\alpha$, to miara kąta $ASD$ jest równa $3\alpha$.

W równoległoboku $ABCD$ punkt $E$ jest środkiem boku $BC$. Z wierzchołka $D$ poprowadzono prostą przecinającą bok $BC$ w punkcie $E$. Proste $AB$ i $DE$ przecinają się w punkcie $F$ (zobacz rysunek). Wykaż, że punkt $B$ jest środkiem odcinka $AF$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Na boku $CD$ tego prostokąta wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=2|DE|$, a na boku $AB$ wybrano taki punkt $F$, że $|BF|=|DE|$. Niech $P$ oznacza punkt przecięcia prostej $EF$ z prostą $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty $AED$ i $FPB$ są przystające.

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy $2$. Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2}-1$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\sphericalangle ACB|=90^{\circ }$ i $|\sphericalangle ABC|=60^{\circ }$. Niech $D$ oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka $C$ kąta prostego i przeciwprostokątnej $AB$ tego trójkąta. Wykaż, że $|AD|:|DB|=3:1$.

Dwusieczna kąta ostrego $ABC$ przecina przyprostokątną $AC$ trójkąta prostokątnego $ABC$ w punkcie $D$. Udowodnij, że jeżeli $|AD|=|BD|$, to $|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|$.

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $|\sphericalangle APC|=\alpha$ i $|\sphericalangle ABC|=\beta$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\alpha =180^{\circ }-2\beta$.

W trapezie $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ przekątne $AC$ oraz $BD$ przecinają się w punkcie $S$. Wykaż, że jeżeli $|AS|=\frac{5}{6}|AC|$, to pole trójkąta $ABS$ jest $25$ razy większe od pola trójkąta $DCS$.

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ oraz wysokości $AD$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina ramię $AD$ w punkcie $E$ oraz dwusieczną kąta $BCD$ w punkcie $F$ (zobacz rysunek). Wykaż, że w czworokącie $CDEF$ sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\sphericalangle DEC|=|\sphericalangle BGF|=90^{\circ }$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

W prostokącie $ABCD$ punkt $P$ jest środkiem boku $BC$, a punkt $R$ jest środkiem boku $CD$. Wykaż, że pole trójkąta $APR$ jest równe sumie pól trójkątów $ADR$ oraz $PCR$.

Czworokąt $ABCD$ wpisano w okrąg tak, że bok $AB$ jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|AD{|}^2+|BD{|}^2=|BC{|}^2+|AC{|}^2$.

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków — odpowiednio — $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $|BL|=\frac{1}{3}|BE|$ i $|DN|=\frac{1}{3}|DE|$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1:3$.

---