Dowody algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n\ge 0$ liczba $7^n+7^{n+1}+7^{n+2}$ jest podzielna przez $19$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2+21n$ jest podzielna przez $14$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ prawdziwa jest nierówność $a(a-b)\ge b(a-3b)$.

Wykaż, że liczba $8^{50}-2^{145}$ jest podzielna przez $31$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $a$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $1$, i dla każdej liczby całkowitej $b$, która przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $4$, liczba $a^2-b^2$ jest podzielna przez $5$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 2$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2+y^2>4(x+y-2)$.

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2+2n+7$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 0$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $5x^2+2y^2>2xy$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $(2n+5{)}^2+3$ jest podzielna przez $4$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\ne 2y$, prawdziwa jest nierówność $x^2+4y^2-4>4(xy-1)$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $5n^3-5n$ jest podzielna przez $30$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2+49y^2>2(x+7y-1)$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $n^2+(n+1{)}^2+(n+2{)}^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\ne y$, prawdziwa jest nierówność $(3x+y)(x+3y)>16xy$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $3n^3+18n^2+15n$ jest podzielna przez $6$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $y$ takiej, że $x>2y$, prawdziwa jest nierówność $x^2+3xy-10y^2>0$.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $k$ reszta z dzielenia liczby $49k^2+7k-2$ przez $7$ jest równa $5$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ takiej, że $b\ne a$, prawdziwa jest nierówność $a^2+3b^2+4>2a+6b$.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ liczba $(2n+1{)}^2-1$ jest podzielna przez $8$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x\ne 1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność $x^2+y^2+5>2x+4y$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ różnej od $0$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ różnej od $0$ spełniona jest nierówność $2a^2-4ab+5b^2>0$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\ne y$, prawdziwa jest nierówność ${\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)}^2<\frac{x^2+4y^2}{5}$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b\ne a$, spełniona jest nierówność $\frac{a^2+b^2}{2}>{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i każdej liczby rzeczywistej $b$ spełniona jest nierówność $b(5b-4a)+a^2\ge 0$.

Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych $a$, $b$ i $c$ takich, że $\frac{a+b}{2}>c$ i $\frac{b+c}{2}>a$, prawdziwa jest nierówność $\frac{a+c}{2}<b$.

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb $a$, $b$ i $c$ takich, że $a<b$, spełniona jest nierówność $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}$.

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a(a+b)+b^2>3ab$.

Wykaż, że jeśli liczby rzeczywiste $a$ i $b$ spełniają warunek $a<4$ i $b<4$, to $ab+16>4a+4b$.