Ciąg arytmetyczny — sumy

Czterowyrazowy ciąg $(7,a_2,a_3,a_4)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $54$. Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa $2025$. Ostatni wyraz tego ciągu jest $17$ razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Ciąg $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ jest arytmetyczny. Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o $12$ większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu. Oblicz różnicę tego ciągu.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$. Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.

Trójwyrazowy ciąg $(x,y-4,y)$ jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa $6$. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$, $a_1=-1$ i $a_4=8$. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla wszystkich liczb naturalnych $n\ge 1$. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $20a_{21}+62$. Oblicz różnicę ciągu $(a_n)$.

W ciągu arytmetycznym $(a_1,a_2,\dots ,a_{39},a_{40})$ suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa $1340$, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa $1400$. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równy $34$, a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa $110$. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla liczb naturalnych $n\ge 1$, wyraz szósty jest liczbą dwa razy większą od wyrazu piątego, a suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa $S_{10}=\frac{15}{4}$. Oblicz wyraz pierwszy oraz różnicę tego ciągu.

Dwunasty wyraz ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równy $30$, a suma jego dwunastu początkowych wyrazów jest równa $162$. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, określony dla $n\ge 1$, w którym spełniona jest równość $a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100$. Oblicz sumę $a_{25}+a_{26}$.

Suma trzydziestu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a_n)$, określonego dla $n\ge 1$, jest równa $30$. Ponadto $a_{30}=30$. Oblicz różnicę tego ciągu.

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla $n\ge 1$, dane są: wyraz $a_1=8$ i suma trzech początkowych wyrazów tego ciągu $S_3=33$. Oblicz różnicę $a_{16}-a_{13}$.

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n=2016-3n$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2n^2+2n$ dla $n\ge 1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.