Kombinatoryka – techniki zliczania — zadania maturalne: Wybierz pozycje, wypełnij resztę
Połowa działu to jeden ruch: posadź wyróżnione cyfry na pozycjach symbolem Newtona, wypełnij pozostałe miejsca i pilnuj dwóch stałych pułapek – zera z przodu i „co najwyżej” liczonego przez dopełnienie. Pięć technik zliczania, a ten arsenał wraca potem w całym rachunku prawdopodobieństwa.
19zadań maturalnych
19z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Zanim zaczniesz: nazwij technikę (pozycje / iloczyn / suma i podzielność / blok / drogi), sprawdź alfabet cyfr i od razu zapytaj o dwie pułapki – zero z przodu? „co najwyżej” przez dopełnienie? Panel WSKAZÓWKA podaje otwarcie, KLUCZ – pełną strategię. Każde zadanie ma pełny klucz punktowania CKE — z progami i wynikiem.
Silnik działu: wybierz pozycje dla wyróżnionych cyfr ((k1n)(k2n−k1)⋯ albo k1!k2!⋯n!), wypełnij resztę, pilnuj pierwszej cyfry =0.
Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.
POSADŹ WYRÓŻNIONE CYFRY, RESZTĘ DOSYP
Wybierz miejsca dla dwójek i trójek, a trzy wolne pozycje wypełnij pozostałymi siedmioma cyframi.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z WIELKOŚCI(28)=28albo(36)=20albo73=343
3
3 PKTOBIE LICZBY MIEJSC(28)=28oraz(36)=20Progi SKACZĄ z 1 od razu na 3. Klucz honoruje też inne kolejności sadzania, np. (58)(35) albo najpierw miejsca dla cyfr różnych od 2 i 3.
CKEZŁE MODELE„Pozostałe trzy cyfry różne": (28)(36)⋅7⋅6⋅5 — 3 pkt. Model 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅73 — 0 pkt. Model 9⋅(28)(36) — 0 pkt (błąd merytoryczny).
+
CKEPRZYPIS · INTERPRETACJA „CO NAJMNIEJ" (Z KLUCZA)Poprawne rozwiązanie wariantu „co najmniej dwie dwójki i co najmniej trzy trójki" klucz honoruje pełnymi 4 pkt — CKE dopuszcza obie interpretacje treści. Uwaga POLIGONU: klucz podaje dla tego wariantu wynik 247240, ale rachunek (trzema niezależnymi metodami: suma po krotnościach, włączenia-wyłączenia, funkcje tworzące) daje 245406 — wartość wydrukowana w kluczu CKE jest błędna.
Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.
NAJPIERW ZERA, POTEM PIĄTKA
Zero nie może otwierać liczby, więc trzy zera sadzasz tylko na pięciu dalszych miejscach.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
2
2 PKTPEŁNA KONSTRUKCJA ZLICZANIA(35)⋅3⋅82trzy miejsca z pięciu dla zer, jedno z trzech dla piątki, na dwóch ostatnich cyfry różne od 0 i 5. Progi zaczynają się od 2 pkt — próg 1 pkt istnieje tylko na drodze przypadkami (przypis).
3
3 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹ(35)⋅3⋅82=10⋅3⋅64=1920
+
CKEPRZYPIS · DROGA DWOMA PRZYPADKAMI (Z KLUCZA)Podział według pierwszej cyfry: piątka z przodu — (35)⋅82=640, piątka dalej — 8⋅(35)⋅2⋅8=1280. Jeden policzony przypadek daje 1 pkt, oba — 2 pkt, suma 1920 — 3 pkt.
!
CKEWYNIK JAKO JEDEN Z PRZYPADKÓWUzyskanie 1920, ale potraktowanie tej liczby jako jednego z kilku przypadków (i doliczanie dalszych) — sufit 2 pkt.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15360.
MIEJSCA DLA JEDYNEK, POTEM DWA STANY
Wybierz pozycje jedynek, a na każdym z siedmiu pozostałych miejsc postaw 2 albo 3.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN SKŁADNIK ZLICZANIA(310) miejsc dla jedynek — ALBO27 rozmieszczeń dwójek i trójek — ALBO(29) czy (39) przy ustalonej pierwszej cyfrze — ALBO wypisanie ośmiu rozłącznych przypadków składu cyfr.
2
2 PKTZASADNICZE TRUDNOŚCI(310)⋅27— ALBO liczności we wszystkich ośmiu przypadkach składu (np. 3!7!10!, 3!6!10!, …).
3
3 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹ(310)⋅27=120⋅128=15360
!
CKERACHUNKI BEZ OBJAŚNIEŃSame liczby czy symbole Newtona bez interpretacji — 0 pkt; same działania bez objaśnień — sufit 1 pkt; częściowe objaśnienia — sufit 2 pkt.
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.
PIERWSZA CYFRA DZIELI ŚWIAT NA DWA
Rozbij na przypadki: pierwsza cyfra nieparzysta albo parzysta, ale niezerowa.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSTRATEGIA ZLICZANIADwa przypadki po pierwszej cyfrze z liczbą jej wyborów (4 albo 5) — ALBO(35) rozmieszczeń cyfr nieparzystych — ALBO wypisane 10 układów pozycji — ALBO strategia dopełnienia (wszystkie ciągi minus zaczynające się zerem).
2
2 PKTJEDEN PRZYPADEK POLICZONY5⋅(24)⋅52⋅52=18750albo4⋅(34)⋅53⋅5=10000(w strategii dopełnienia: (35)⋅53⋅52 albo (34)⋅53⋅5).
3
3 PKTZASADNICZE TRUDNOŚCI18750+10000albo(35)⋅55−(34)⋅54— także: jeden przypadek bezbłędnie, drugi z błędem rachunkowym i konsekwentna suma.
4
4 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹ28750
!
CKEZGUBIONY UKŁAD POZYCJIPominięcie jednego z dziesięciu rozmieszczeń przy zliczaniu przypadkami, konsekwentnie do końca — 3 pkt.
Oblicz, ile jest liczb sześciocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, natomiast występują dwie dziewiątki, jedna szóstka i suma wszystkich cyfr jest równa 30.
PO ODJĘCIU 9+9+6 ZOSTAJE SUMA 6
Trzy pozostałe cyfry muszą sumować się do 6 — i to one robią całe zadanie.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTMIEJSCA DLA JEDNEJ Z CYFRMiejsca dla dwóch dziewiątek wybieramy na (26)=15 sposobów, a_szóstka może stanąć na jednym z_pozostałych 4 miejsc.
2
2 PKTDRUGI SKŁADNIK RACHUNKUNa trzech wolnych miejscach mają stanąć cyfry o_sumie 30−2⋅9−6=6 — możliwe zestawy to {1,2,3}, {1,1,4} i_{2,2,2}.
3
3 PKTLICZBA USTAWIEŃ TRZECH CYFRKolejno 3!=6, (23)=3 oraz 1 ustawienie — razem 10.
4
4 PKTREGUŁA MNOŻENIA — ODPOWIEDŹZestawienie wszystkich wyborów:15⋅4⋅10=600
Oblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.
ROZBIJ PO PIERWSZEJ CYFRZE
Osobno licz przypadki, gdy liczbę otwiera 1, 2 albo cyfra z {3,…,9}.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSTRUKTURA PRZYPADKÓWPoprawne wskazanie trzech przypadków po pierwszej cyfrze — ALBO (przy zgubionym jednym przypadku) poprawna liczność któregoś z nich — ALBO (droga dopełnienia) plan „wszystkie układy minus zaczynające się zerem” czy jedna z liczności: (37)(24)⋅82 albo (36)(23)⋅8.
2
2 PKTPOŁOWA RACHUNKUTrzy przypadki plus liczność jednego z nich — ALBO dwa przypadki z licznościami przy zgubionym trzecim — ALBO plan dopełnienia z licznością 13440 albo 480.
3
3 PKTPRAWIE KOMPLETTrzy przypadki i liczności dwóch z nich — ALBO obie liczności drogi dopełnienia: 13440 oraz 480.
MAX 2 PKTCKEW każdym przypadku poprawnie rozmieszczone tylko dwa z trzech elementów struktury (jedynki i dwójki, jedynki i pozostałe, albo dwójki i pozostałe) — trzeci rozmieszczony błędnie.
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.
ROZBIJ ALBO ODEJMIJ ZERO Z PRZODU
Policz wszystkie ciągi, a potem odetnij te, które zaczynają się zerem.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN Z WARUNKÓW 1)–4)1)pierwsza cyfra nieparzysta: 5⋅4⋅5⋅53.2)pierwsza cyfra parzysta: 4⋅(24)⋅52⋅52.3)wszystkie ciągi z dokładnie dwiema nieparzystymi: (25)⋅52⋅53.4)ciągi zaczynające się zerem: (24)⋅52⋅52.
2
2 PKTPARA WARUNKÓWWarunki 1) i 2) razem — ALBO warunki 3) i 4) razem.
Rozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.
POLICZ CIĄGI, POTEM ODEJMIJ ZERO Z PRZODU
Najpierw wybierz trzy cyfry nieparzyste i dwie parzyste, dopiero potem tnij zero ze startu.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z LICZNOŚCIL1=(35)(25)⋅5!alboL2=(35)(14)⋅4!— ALBOP=4(14)(35)⋅4! lub N=5(25)(24)⋅4! (podział wg pierwszej cyfry) — ALBOZ+=4⋅4⋅4⋅5⋅4⋅3 lub Z−=10⋅4⋅3⋅5⋅4⋅3 (podział wg obecności zera).
2
2 PKTOBIE LICZNOŚCI W JEDNEJ DRODZEL1 (wszystkie ciągi) orazL2 (ciągi zaczynające się zerem) — albo odpowiednia para w którejkolwiek z pozostałych dróg.
0 PKTCKEZERO ZA CAŁE ZADANIERozpatrywanie liczb innych niż pięciocyfrowe.
!
ZERO JEST CYFRĄ PARZYSTĄCyfr parzystych jest pięć (0,2,4,6,8), ale na pierwszej pozycji dopuszczalne są tylko cztery. Pominięcie tego rozróżnienia zatrzymuje na progu 1.
Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.
ROZŁÓŻ 12 NA CYFRY, RESZTA TO JEDYNKI
Trzy rozkłady: 12=3⋅4, 12=2⋅6 oraz 12=3⋅2⋅2.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTCO NAJMNIEJ DWA ROZKŁADYZapisanie co najmniej dwóch z trzech parami wykluczających się możliwości (bez zliczania): 12=3⋅4⋅16,12=2⋅6⋅16,12=3⋅2⋅2⋅15
2
2 PKTWSZYSTKIE TRZY ROZKŁADYKomplet trzech możliwości zapisany (nadal bez zliczania).
3
3 PKTZLICZONE CO NAJMNIEJ DWA PRZYPADKI8⋅7=56 (cyfry 3,4),8⋅7=56 (cyfry 2,6),8⋅(27)=168 (cyfry 3,2,2)— dowolne dwa z trzech.
Rozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.
PARZYSTY ILOCZYN MNIEJSZY OD 5 TO {0, 2, 4}
Przypadki 2 i 4 policz wprost, a iloczyn 0 przez dopełnienie.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTILOCZYNY 4 I 2(26)+6=21 liczb o iloczynie 4 oraz 6 liczb o iloczynie 2 — albo sam iloczyn 0: 9⋅105−96, albo kompletna lista przypadków (dwie dwójki / czwórka / co najmniej jedno zero).
2
2 PKTWSZYSTKIE TRZY GRUPYIloczyn 4 i iloczyn 2 jak wyżej oraz iloczyn 0: 9⋅105−96=368559.
3
3 PKTSUMA — ODPOWIEDŹ21+6+368559=368586
!
ZERO NA PIERWSZEJ POZYCJIW dopełnieniu 9⋅105 już pilnuje niezerowej pierwszej cyfry. Liczenie zer „na piechotę” po pozycjach też przechodzi (295245+65610+7290+405+9), ale każdy zgubiony przypadek zjada próg.
368586 liczb
Włączenia–wyłączenia dla „lub”, cechy podzielności rozłożone na koniunkcję warunków, rozdzielanie nadwyżki przy małych sumach.
Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy pięciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 15. Oblicz, ile możemy utworzyć takich liczb.
PIĘTNAŚCIE TO PIĘĆ RAZY TRZY
Podzielność przez 5 wymusza zero na końcu, a przez 3 — warunek na sumę cyfr.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTOSTATNIA CYFRAZapisanie, że ostatnią cyfrą musi być 0 (podzielność przez 5).
2
2 PKTCZTERY WZORCE SUMYWypisane wszystkie cztery możliwości sumy cyfr podzielnej przez 3: {1,1,1,0,0}, {2,2,2,0,0}, {1,1,2,2,0}, {1,2,0,0,0}.
3
3 PKTZLICZONE TRZY PRZYPADKIPoprawnie policzone liczby w co najmniej trzech z czterech przypadków (3, 3, 6, 6). Pominięcie jednego przypadku z rozwiązaniem do końca — też ten próg.
Oblicz, ile jest liczb dziesięciocyfrowych takich, że suma cyfr w każdej z tych liczb jest równa 13 i żadna cyfra nie jest zerem.
ROZDZIEL NADWYŻKĘ PONAD JEDYNKI
Każda cyfra jest co najmniej 1, więc do rozdania zostaje tylko 3.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
2
2 PKTWYNIK — ZADANIE KODOWANEKlucz nie przewiduje progu pośredniego: pełna odpowiedź to 2 punkty, odpowiedź niepełna lub błędna — 0. Szukana liczba to:220
Dwa modele spoza świata cyfr: metoda bloku dla obiektów stojących razem i ścieżki kratowe ze współczynnikami dwumianowymi.
Wśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n. Zapisz obliczenia.
SKLEJ TRÓJKĘ W JEDNĄ OSOBĘ
Zostaje (n−2)! ustawień bloków razy 3! wewnątrz sklejki.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z TRZECH RZECZY∣Ω∣=n! — ALBO zapisanie, że trzy kolejne miejsca spośród n można wybrać na n−2 sposoby — ALBO potraktowanie trójki jak jednej osoby i zapisanie (n−2)!.
2
2 PKTRÓWNANIE Z NIEWIADOMĄ nn!=12⋅(n−2)!⋅3!
3
3 PKTROZWIĄZANIE — ODPOWIEDŹPo podzieleniu przez (n−2)!: n(n−1)=72, czyli n2−n−72=0 i (n−9)(n+8)=0. Ponieważ n jest całkowite dodatnie, n+8>0, więc n=9.
!
ODRZUĆ n=−8 Z UZASADNIENIEMPowołanie się na dodatniość n to nie formalność — bez niej rozwiązanie ma dwa pierwiastki i nie jest domknięte.
n=9
Wkład pozycyjny: każda cyfra na każdej pozycji stoi tyle samo razy – suma liczb to jeden iloczyn, nie sto dodawań.
Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.
LICZ KOLUMNAMI, NIE LICZBAMI
Na każdej pozycji każda z pięciu cyfr stoi dokładnie 24 razy.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSTRUKTURA POLICZONAWszystkich liczb jest 5!=120 — ALBO spostrzeżenie, że ustalona cyfra stoi 24 razy na ustalonej pozycji — ALBO suma pięciu liczb „każda cyfra raz na każdej pozycji”: 277775 — ALBO podział na 4! podzbiorów pięcioelementowych o równych sumach.
2
2 PKTMECHANIZM SUMOWANIAPlan: 120 liczb, na każdej pozycji każda cyfra 24 razy — ALBO suma jednej pełnej kolumny (np. jedności: 24⋅25=600) — ALBO suma 24 liczb z ustaloną cyfrą na ustalonej pozycji — ALBO pary o sumie 111110 (z przykładem) — ALBO277775 wraz z podziałem na 4! podzbiorów.
MAX 1 PKTCKEWzór 2(13579+97531)⋅120 bez komentarza lub bez wypisania dwóch par o sumach cyfr 10 na każdej pozycji. Zliczanie z powtórzeniami cyfr — także sufit 1 pkt; użycie cyfr spoza zbioru {1,3,5,7,9} — sufit 2 pkt.