Granice funkcji — zadania maturalne: Granice funkcji i ciągłość
Dwa odruchy graniczne – skracanie wspólnego czynnika i znak z jednostronnego podejścia – plus sklejanie funkcji parametrami na ciągłość. Dwa zadania maturalne z pełnym kluczem.
2zadania maturalne
2z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Zanim zaczniesz: który schemat? Masz x0 (licz pochodną w punkcie) czy masz nachylenie m (rozwiąż f′(x)=m)? Iloraz – pilnuj kolejności w liczniku; „wykaż” – najpewniej Darboux albo znak f′. Panel WSKAZÓWKA podaje otwarcie, KLUCZ – strategię i wynik. Wszystkie wyniki liczbowe w kluczach tego tematu zweryfikowane symbolicznie (SymPy) przed publikacją.
Odruchy: rozkład na czynniki i skrócenie przy 00, definicja wartości bezwzględnej przy granicach jednostronnych, analiza znaku mianownika. Ciągłość = granica równa wartości.
Oblicz granicę x→2−lim(x−2)2x3−8. Zapisz obliczenia.
RÓŻNICA SZEŚCIANÓW SKRACA JEDEN CZYNNIK
x3−8=(x−2)(x2+2x+4), więc w mianowniku zostaje jedno (x−2).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTUPROSZCZENIE(x−2)2x3−8=(x−2)2(x−2)(x2+2x+4)=x−2x2+2x+4dla każdego x=2 (klucz uznaje też postać x+4+x−212) — ALBO zapisanie równości limx→2−(x−2)2x3−8=limx→2−2x−43x2 (reguła de l'Hospitala).
2
2 PKTGRANICA — ODPOWIEDŹx→2−lim(x2+2x+4)=12 oraz limx→2−(x−2)=0−, więc x→2−lim(x−2)2x3−8=−∞
!
ZNAK ZERA W MIANOWNIKUZapisanie samego „0” zamiast „0−” gubi znak i prowadzi do +∞. Kierunek granicy jest tu całą treścią zadania.
Oblicz granicę x→3−limx2−9∣x−3∣. Zapisz obliczenia.
GRANICA LEWOSTRONNA ZDEJMUJE MODUŁ Z MINUSEM
Dla x→3− jest ∣x−3∣=−(x−3) — cały ciężar zadania siedzi w tym znaku.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTUPROSZCZENIE WYRAŻENIAx2−9∣x−3∣=(x−3)(x+3)−(x−3)=x+3−1dla każdego x∈(−3,3) — ALBO zapisanie x2−9∣x−3∣+61=61x+3x−3 na tym samym przedziale (droga z definicji Cauchy'ego).