Geometria analityczna – wprowadzenie: teoria i metoda

SKŁADOWE

Umiejętności składowe

Piętnaście umiejętności, z których składa się cały dział – od zera do pełnego zadania. Wszystkie piętnaście spisane – komplet.

SKŁADOWA 1Wyznaczanie wektora

Poruszanie się po układzie

Wektor $[a, b]$ to droga, którą pokonujemy z punktu $A$ do punktu $B$ . Pierwsza współrzędna opisuje ruch w prawo/lewo, druga – w górę/dół. Zgodnie ze zwrotem osi (w prawo, w górę) liczba jest dodatnia; przeciwnie – ujemna.

Wzór

A B = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]

koniec minus początek – od współrzędnych $B$ odejmujesz współrzędne $A$

Ćwiczenie

Dane $A (1, 2)$ , $B (10, 15)$ . Wyznacz $A B$ i $B A$ .

A. Po wykresie: z $A$ do $B$ idziemy 9 w prawo i 13 w górę, więc $A B = [9, 13]$ . Z $B$ do $A$ – 9 w lewo i 13 w dół, więc $B A = [- 9, - 13]$ .

B. Ze wzoru: $A B = [10 - 1, 15 - 2] = [9, 13]$ , a $B A = [1 - 10, 2 - 15] = [- 9, - 13]$ .

Wniosek

Wektory $A B$ i $B A$ są różne – kolejność liter ma znaczenie. Co więcej $A B = - B A$ .

SKŁADOWA 2Wyznaczanie długości odcinka

Zasada

Skoro wektor $[a, b]$ to droga pokonywana równolegle do osi, odległość z $A$ do $B$ jest długością przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są $a$ i $b$ .

Wzór – Pitagoras

∣ A B ∣ = a^{2} + b^{2} = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}

Przykład

Dla $A (1, 2)$ , $B (10, 15)$ : $∣ A B ∣ = 9^{2} + 1 3^{2} = 81 + 169 = 250 = 510$ .

SKŁADOWA 3Środek odcinka

Zasada

Środek odcinka znajdujemy ze wzoru – to średnia arytmetyczna współrzędnych obu jego końców.

Wzór

S = (\frac{x _{A} + x _{B}}{2}, \frac{y _{A} + y _{B}}{2})

każda współrzędna środka to średnia odpowiednich współrzędnych końców $A$ i $B$

Dwa równania

Wzór na środek to w istocie dwa równania – jedno dla $x$ , drugie dla $y$ . Dlatego pozwala wyznaczyć dwie niewiadome współrzędne.

Zadanie 1

Mając środek $S$ odcinka $A B$ oraz punkt $A$ , znajdź $B$ .

Ze wzoru $x_{S} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ wynika $x_{B} = 2 x_{S} - x_{A}$ ; tak samo $y_{B} = 2 y_{S} - y_{A}$ . Punkt $B$ jest więc odbiciem $A$ względem środka $S$ .

Zadanie 2

Dane $A (x, 3)$ , $S (5, 5)$ , $B (10, y)$ . Znajdź $x$ i $y$ .

Z pierwszej współrzędnej: $5 = \frac{x + 10}{2} \Rightarrow x = 0$ . Z drugiej: $5 = \frac{3 + y}{2} \Rightarrow y = 7$ . Zatem $A (0, 3)$ , $B (10, 7)$ .

Gdzie się pojawia – coś dzieli się na pół (1:1)

symetralna odcinka – przechodzi przez jego środek
środkowa trójkąta – łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku
spodek wysokości w trójkącie równoramiennym – pada w środek podstawy
przecięcie przekątnych równoległoboku – przekątne połowią się nawzajem
środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym – to środek przeciwprostokątnej
symetria środkowa – środek leży dokładnie między punktem a jego obrazem
środek średnicy okręgu – pokrywa się ze środkiem okręgu
linia środkowa – łączy środki dwóch boków

SKŁADOWA 4Operacje na wektorach

Przyłożenie wektora do punktu

Wektor możemy przyłożyć do danego punktu – znając jeden koniec i wektor, dochodzimy do drugiego końca.

Zadanie wprowadzające

Wektor $A B = [5, 6]$ , punkt $B (10, 7)$ . Znajdź $A$ .

Sposób 1 – ze wzoru: z $A B = [x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}]$ mamy $10 - x_{A} = 5$ oraz $7 - y_{A} = 6$ , stąd $A (5, 1)$ .

Sposób 2 – przyłożenie: tworzysz wektor przeciwny $B A = [- 5, - 6]$ i z punktu $B (10, 7)$ idziesz 5 jednostek w lewo i 6 w dół → $A (5, 1)$ .

Podział w stosunku innym niż 1:1

Wektory wykorzystujemy tam, gdzie własnościowo coś dzieli się inaczej niż na pół. Najważniejszy przypadek to środkowe trójkąta.

Środkowe trójkąta

Punkt przecięcia środkowych (środek ciężkości) $S$ dzieli każdą środkową w stosunku $2 : 1$ , licząc od wierzchołka. Dla środkowej z wierzchołka $A$ do środka $D$ boku $B C$ zachodzi $∣ A S ∣ : ∣ S D ∣ = 2 : 1$ .

Wzór

S = (\frac{x _{A} + 2 x _{D}}{3}, \frac{y _{A} + 2 y _{D}}{3})

$D$ – środek boku naprzeciw $A$ ; stąd $D = \frac{3 S - A}{2}$ oraz $A = 3 S - 2 D$

Zadania wprowadzające

1. $A (1, 1)$ , środkowe przecinają się w $S (5, 6)$ . Znajdź środek $D$ boku $B C$ : $D = \frac{3 S - A}{2} = (7, \frac{17}{2}) = (7; 8, 5)$ .

2. Środek $B C$ to $D (10, 8)$ , środkowe w $S (5, 5)$ . Znajdź $A = 3 S - 2 D = (- 5, - 1)$ .

3. Środek $B C$ to $D (6, 12)$ , $A (1, 4)$ . Znajdź punkt przecięcia środkowych $S = \frac{A + 2 D}{3} = (\frac{13}{3}, \frac{28}{3})$ – tu współrzędne wychodzą ułamkowe.

SKŁADOWA 5Punkt na wykresie funkcji

Zasada

Jeśli punkt należy do wykresu funkcji, jego współrzędne zapisujesz jedną niewiadomą – pierwsza współrzędna to $x$ , a drugą wylicza wzór funkcji. To najczęstszy punkt wyjścia w zadaniach: zamienia nieznany punkt na jedno wyrażenie.

Przykład

Punkt $A$ leży na wykresie $y = 3 x + 5$ . Wtedy $A = (x, 3 x + 5)$ – gdziekolwiek na prostej się znajduje, opisuje go jedna niewiadoma $x$ .

Działa dla każdej funkcji: na paraboli $y = x^{2}$ punkt to $(x, x^{2})$ , na hiperboli $y = \frac{1}{x}$ – punkt $(x, \frac{1}{x})$ .

Dwie postaci prostej

Kierunkowa $y = a x + b$ i ogólna $A x + B y + C = 0$ to ten sam wzór – przechodzisz między nimi, inaczej porządkując wyrazy. Na przykład $y = 3 x + 5 ⟺ 3 x - y + 5 = 0$ .

Której postaci używać

kierunkowa $y = a x + b$ – odnosi się do niej cała pula informacji: nachylenie, równoległość, prostopadłość, styczna (wszystkie operują współczynnikiem $a$ )
ogólna $A x + B y + C = 0$ – jedyny wzór, który jej wymaga, to odległość punktu od prostej (tam $A, B, C$ to jej współczynniki)

Ile informacji wyznacza prostą

Postać ogólna ma trzy współczynniki $A, B, C$ , ale nie są one niezależne – całe równanie można podzielić przez jeden z nich. Faktycznie ma więc dwa stopnie swobody, dokładnie jak $y = a x + b$ . Dlatego prostą – w obu postaciach – wyznaczają dwie informacje.

SKŁADOWA 6Wzór funkcji liniowej

Zasada

Mając dwie informacje o funkcji liniowej $y = a x + b$ , wyznaczysz jej wzór. Każda informacja to jedno równanie wiążące $a$ i $b$ – dwie wystarczą, by je wyliczyć.

Pula informacji Co daje każda z nich:

Informacja	Co daje
punkt $(x_{0}, y_{0})$ , przez który prosta przechodzi	$y_{0} = a x_{0} + b$ dwie niewiadome $a, b$
miejsce zerowe $(x_{0}, 0)$	$0 = a x_{0} + b$ dwie niewiadome $a, b$
przecięcie z osią OY w $(0, y_{0})$	$b = y_{0}$
nachylenie prostej (kąt $α$ do OX)	$a$ wprost; z kąta $a = tg α$
równoległość do prostej o współczynniku $a_{2}$	$a = a_{2}$
prostopadłość do prostej o współczynniku $a_{2}$	$a = - \frac{1}{a _{2}}$
styczność do wykresu $f$ w punkcie o odciętej $x_{0}$	$a = f^{'} (x_{0})$

Trzy rodzaje wyniku: wprost $a$ (nachylenie, równoległość, prostopadłość, styczność), wprost $b$ (przecięcie z OY), równanie wiążące $a, b$ (punkt, miejsce zerowe). Najłatwiejszy przypadek to jedno „wprost $a$ ” połączone z jednym „wprost $b$ ”.

Przypadek A – dwa punkty

Sposób 1: wyznacz $a = \frac{y _{1} - y _{2}}{x _{1} - x _{2}}$ , potem podstaw współrzędne dowolnego z punktów, by znaleźć $b$ .

Sposób 2: dwukrotnie zastosuj warunek „punkt należy do wykresu” – powstaje układ dwóch równań z niewiadomymi $a, b$ ; najwygodniej rozwiązać go metodą przeciwnych współczynników.

SKŁADOWA 7Prosta równoległa lub prostopadła przez punkt

Zasada

Współczynnik $a$ bierzesz z warunku kierunku, $b$ – z punktu: równoległość do prostej o współczynniku $a_{2}$ daje $a = a_{2}$ ; prostopadłość daje $a = - \frac{1}{a _{2}}$ ; następnie podstawiasz dany punkt do $y = a x + b$ i wyliczasz $b$ .

Równoległość własnościowo

podstawy trapezu
obie pary przeciwległych boków w równoległoboku

Prostopadłość własnościowo

boki prostokąta i kwadratu
wysokość trójkąta (prostopadła do boku)
symetralna odcinka oraz symetralne boków

Obie naraz

prostokąt, kwadrat – przeciwległe boki ∥, sąsiednie ⊥
trapez prostokątny – podstawy ∥, ramię ⊥ do nich
romb, kwadrat – boki ∥, przekątne ⊥
wysokość trapezu – ⊥ do podstawy, podstawy ∥ między sobą

SKŁADOWA 8Odległość punktu od prostej

Zasada

Odległość w matematyce to długość najkrótszego odcinka – a najkrótszy jest ten poprowadzony pod kątem prostym (rzut prostopadły punktu na prostą).

Wzór

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

postać ogólna $A x + B y + C = 0$ ; sam znak licznika (bez modułu) mówi, po której stronie prostej leży punkt

Gdzie odległość się pojawia

styczność – prosta styczna do okręgu $⟺ d (S, l) = r$
wysokość – pole $= \frac{1}{2} \cdot podstawa \cdot d$
położenie prostej i okręgu – $d < r$ sieczna, $d = r$ styczna, $d > r$ rozłączne
długość cięciwy – $r^{2} = d^{2} + (\frac{ci ę ciwa}{2})^{2}$
promień okręgu wpisanego – odległość środka od każdego boku równa $r$
odległość prostych równoległych – odległość dowolnego punktu jednej od drugiej
dwusieczna kąta – zbiór punktów równoodległych od dwóch prostych

SKŁADOWA 9Okrąg w układzie współrzędnych

Trzy niewiadome

Okrąg w układzie współrzędnych opisują trzy liczby: $a$ i $b$ – współrzędne środka – oraz $r$ , czyli promień.

Wzór

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

środek $S (a, b)$ , promień $r$

Metoda – dopełnianie do kwadratu

Gdy równanie podane jest w postaci rozwiniętej, wyrazy z $x$ oraz wyrazy z $y$ dopełniasz do wzoru skróconego mnożenia (kwadratu sumy lub różnicy), aby odczytać środek i promień.

Zadanie wprowadzające

Znajdź środek i promień okręgu $x^{2} + 6 x + y^{2} - 10 y = - 25$ .

Dopełniamy: $x^{2} + 6 x = (x + 3)^{2} - 9$ oraz $y^{2} - 10 y = (y - 5)^{2} - 25$ . Równanie przyjmuje postać $(x + 3)^{2} - 9 + (y - 5)^{2} - 25 = - 25$ , czyli $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 9$ .

Stąd środek $S (- 3, 5)$ , promień $r = 3$ .

SKŁADOWA 10Punkt wspólny

Dla jakich par

prosta i prosta
prosta i parabola
prosta i okrąg
okrąg i okrąg – osobna technika: oś radykalna

Metoda – zawsze ta sama

Układamy układ równań ze wzorów funkcji / równań okręgu i go rozwiązujemy. Liczba rozwiązań układu to liczba punktów wspólnych.

SKŁADOWA 11Wzajemne położenie dwóch okręgów

Zasada

O wzajemnym położeniu dwóch okręgów decyduje odległość środków $d = ∣ S_{1} S_{2} ∣$ w porównaniu z sumą $r_{1} + r_{2}$ i różnicą $∣ r_{1} - r_{2} ∣$ promieni.

0 punktów wspólnych

rozłączne zewnętrznie – $d > r_{1} + r_{2}$ (jeden obok drugiego)
jeden wewnątrz drugiego – $d < ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

1 punkt wspólny – styczne

styczne zewnętrznie – $d = r_{1} + r_{2}$
styczne wewnętrznie – $d = ∣ r_{1} - r_{2} ∣$

2 punkty wspólne

przecinają się – $∣ r_{1} - r_{2} ∣ < d < r_{1} + r_{2}$

Przypadek graniczny: gdy $d = 0$ i $r_{1} = r_{2}$ , okręgi się pokrywają (nieskończenie wiele punktów wspólnych).

SKŁADOWA 12Pole trójkąta z wyznacznika

Zasada

Z dowolnego wierzchołka (np. $A$ ) tworzysz dwa wektory do pozostałych wierzchołków, układasz ich współrzędne w wyznacznik, a pole to połowa jego wartości bezwzględnej.

Wzór

d = a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} = a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2}, P = \frac{1}{2} ∣ d ∣

$A B = [a_{1}, b_{1}]$ , $A C = [a_{2}, b_{2}]$ – wektory wychodzące z tego samego wierzchołka

Przykład

$A (1, 2)$ , $B (5, 6)$ , $C (10, 4)$ . Wektory z $A$ : $A B = [4, 4]$ , $A C = [9, 2]$ .

$d = 4 \cdot 2 - 4 \cdot 9 = 8 - 36 = - 28$ , więc $P = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14$ .

To samo pole dwiema dłuższymi drogami

Przez prostą prostopadłą

Prosta $A B$ : $y = x + 1$ . Prosta prostopadła przez $C$ : $y = - x + 14$ . Ich punkt wspólny $D = (\frac{13}{2}, \frac{15}{2})$ .

Wysokość $∣ C D ∣ = \frac{7 2}{2}$ , podstawa $∣ A B ∣ = 42$ , więc $P = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot \frac{7 2}{2} = 14$ .

Przez odległość punktu od prostej

Prosta $A B$ w postaci ogólnej: $x - y + 1 = 0$ . Wysokość to odległość $C$ od niej: $h = \frac{∣10 - 4 + 1∣}{2} = \frac{7 2}{2}$ .

Z $∣ A B ∣ = 42$ wychodzi $P = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot \frac{7 2}{2} = 14$ .

Wszystkie trzy drogi dają to samo pole 14 – ale wyznacznik jest najszybszy: jeden rachunek, bez wyznaczania prostych i punktów.

SKŁADOWA 13Punkt na prostej – prosta jednym współczynnikiem

Zasada

Gdy punkt leży na (nieznanej) prostej $y = a x + b$ , warunek należenia wiąże $b$ z $a$ – całą prostą zapisujesz jednym współczynnikiem $a$ . To lustro składowej 5: tam jeden punkt na danej prostej miał jedną niewiadomą współrzędną, tu cała prosta przez dany punkt ma jeden parametr.

Przykład

Punkt $A (2, 1)$ leży na prostej: $1 = 2 a + b$ , stąd $b = 1 - 2 a$ . Cała prosta przez $A$ to $y = a x + (1 - 2 a)$ – pęk prostych z jednym parametrem $a$ .

Zastosowanie – styczne do okręgu przez punkt

Wyznacz styczne do $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ przez $A (8, 8)$ . Środek $S = (1, 4)$ , $r = 4$ ; pęk przez $A$ : $y = a x + (8 - 8 a)$ , czyli $a x - y + (8 - 8 a) = 0$ .

Warunek styczności $d (S, l) = r$ : $\frac{∣ - 7 a + 4∣}{a ^{2} + 1} = 4 \Rightarrow 33 a^{2} - 56 a = 0 \Rightarrow a = 0 lub a = \frac{56}{33}$ .

Dwie styczne: $y = 8$ oraz $y = \frac{56}{33} x - \frac{184}{33}$ .

Sprawdzenie sensu: $∣ S A ∣ = 65 > 4$ , więc $A$ leży na zewnątrz okręgu – stąd dokładnie dwie styczne.

SKŁADOWA 14Kąt między prostymi

Zasada

Współczynnik kierunkowy to tangens kąta nachylenia prostej do osi $O X$ : $a_{1} = tg α$ , $a_{2} = tg β$ . Kąt między prostymi to różnica tych kątów – liczysz go wzorem na tangens różnicy.

Wzór

tg φ = \frac{a _{1} - a _{2}}{1 + a _{1} a _{2}}

wartość bezwzględna – bierzemy kąt ostry między prostymi

Dwa skrajne przypadki czytasz wprost z wzoru: mianownik $1 + a_{1} a_{2} = 0$ → proste prostopadłe ( $φ = 9 0^{\circ}$ ); licznik $a_{1} = a_{2}$ → proste równoległe ( $φ = 0^{\circ}$ ).

Przykład

Proste o nachyleniach $a_{1} = 2$ , $a_{2} = - 3$ : $tg φ = \frac{2 - ( - 3 )}{1 + 2 \cdot ( - 3 )} = \frac{5}{- 5} = 1$ , więc $φ = 4 5^{\circ}$ .

SKŁADOWA 15Jednokładność

Zasada

Jednokładność o środku $S$ i skali $k \neq = 0$ przekształca punkt $P$ na taki $P^{'}$ , że $S P^{'} = k S P$ – obraz leży na prostej $S P$ , rozciągnięty lub ściśnięty względem środka.

Wzór

P^{'} = S + k (P - S)

we współrzędnych: $x^{'} = x_{S} + k (x_{P} - x_{S})$ , $y^{'} = y_{S} + k (y_{P} - y_{S})$

Przykład

Środek $S = (1, 2)$ , skala $k = 3$ , punkt $A = (3, 5)$ .

$x^{'} = 1 + 3 (3 - 1) = 7$ , $y^{'} = 2 + 3 (5 - 2) = 11$ , więc $A^{'} = (7, 11)$ .

Kontrola: $S A = [2, 3]$ , a $S A^{'} = [6, 9] = 3 S A$ – zgadza się.

Szczególne przypadki: $k = 1$ to tożsamość, $k = - 1$ to symetria środkowa względem $S$ . Skala $∣ k ∣$ mnoży wszystkie długości (dla $∣ k ∣$ większego od 1 figura rośnie, mniejszego – maleje). Okrąg przechodzi na okrąg o promieniu $∣ k ∣ \cdot r$ , którego środek jest obrazem środka – to klucz do zadań o dwóch okręgach.

Geometria analityczna – prosta, okrąg, parabola — teoria i metoda: Najpierw rysunek,potem strategia

Umiejętności składowe

Geometria analityczna – prosta, okrąg, parabola — teoria i metoda: Najpierw rysunek,
potem strategia