Geometria analityczna – zadania maturalne z rozwiązaniami

Żadnej krzywej — pracujesz na prostych i odległościach. Przecięcie prostych, odległość punktu od prostej, pole figury wyciętej prostymi; parametr wchodzi na końcu jako selektor.

1matura · maj 2016 · zad. 10 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$ , dla których wykresy funkcji $f$ i $g$ , określonych wzorami $f (x) = x - 2$ oraz $g (x) = 5 - a x$ , przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

2matura · czerwiec 2017 · zad. 12 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Prosta $l$ , na której leży punkt $P = (8, 2)$ , tworzy z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt prostokątny o polu równym 36. Wyznacz równanie prostej $l$ .

3test diagnostyczny CKE · marzec 2021 · zad. 13 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015MATURA PRÓBNA CKE

Dany jest równoległobok, którego boki zawierają się w prostych o równaniach: $y = x + b$ , $y = x + 2 b$ , $y = b$ , $y = 2$ , gdzie liczba rzeczywista $b$ spełnia warunki: $b \neq = 2$ i $b \neq = 0$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $b$ , dla których pole tego równoległoboku jest równe 1.

4matura · czerwiec 2021 · zad. 9 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są prosta $k$ o równaniu $x - 2 y = 0$ i prosta $l$ o równaniu $2 x + y - 1 = 0$ . Punkt $P$ leży na prostej o równaniu $y = x + 4$ . Odległość punktu $P$ od prostej $k$ jest dwa razy większa niż odległość punktu $P$ od prostej $l$ . Oblicz współrzędne punktu $P$ .

5informator maturalny CKE 2021 · zad. 22 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023INFORMATOR MATURALNY

Proste o równaniach $2 x + y - 4 m - 4 = 0$ i $x - 3 y + 5 m + 5 = 0$ przecinają się w punkcie $P$ o współrzędnych $(x_{P}, y_{P})$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których współrzędne punktu $P$ spełniają warunki: $x_{P} > 0, y_{P} > 0, y_{P} \geq x_{P}^{2} oraz y_{P} < - \frac{2}{x _{P}} + 8.$

Okrąg jest niewiadomą. Środek dostajesz z symetralnej cięciwy albo z warunku leżenia na danej prostej, promień z Pitagorasa na trójkącie: środek, połowa cięciwy, promień.

6matura próbna CKE · styczeń 2009 · zad. 9 · 7 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁAMATURA PRÓBNA CKE

Środek okręgu przechodzącego przez punkty $A = (1, 4)$ i $B = (- 6, 3)$ leży na osi $O x$ .

a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $A B$ i oddalonej od początku układu współrzędnych o $2$ .

7matura · maj 2013 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Prosta o równaniu $3 x - 4 y - 36 = 0$ przecina okrąg o środku $S = (3, 12)$ w punktach $A$ i $B$ . Długość odcinka $A B$ jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

8matura · maj 2017 · zad. 13 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty $A = (- 5, 3)$ i $B = (0, 6)$ , którego środek leży na prostej o równaniu $x - 3 y + 1 = 0$ .

Jeden warunek w siedmiu przebraniach: odległość środka od prostej równa promieniowi. Kierunek stycznej bierzesz z prostopadłości, punkt styczności z rzutu środka na prostą.

9matura · maj 2009 · zad. 9 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ oraz zaznacz punkt $A = (0, - 1)$ . Prosta o równaniu $x = 0$ jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt $A$ . Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt $A$ .

10matura · maj 2011 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y - 3 = 0$ poprowadzonymi przez punkt $A = (2, 0)$ .

11matura · czerwiec 2012 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach $A = (0, 2)$ i $B = (2, 0)$ oraz jest styczny do prostej $l$ w punkcie $C = (1, a)$ , gdzie $a > 1$ . Wyznacz równanie prostej $l$ .

12matura · maj 2015 · zad. 9 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Wyznacz równania prostych stycznych do okręgu o równaniu $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 3 = 0$ i zarazem prostopadłych do prostej $x + 2 y - 6 = 0$ .

13matura · czerwiec 2015 · zad. 7 · 2 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Prosta o równaniu $y = \frac{3}{4} x - \frac{61}{14}$ jest styczna do okręgu o środku $S = (1, - 4)$ . Wyznacz promień tego okręgu.

14matura · maj 2021 · zad. 10 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Prosta przechodząca przez punkty $A = (8, - 6)$ i $B = (5, 15)$ jest styczna do okręgu o środku w punkcie $O = (0, 0)$ . Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą $A B$ .

15matura · maj 2024 · zad. 11 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ środek $S$ okręgu o promieniu $5$ leży na prostej o równaniu $y = x + 1$ . Przez punkt $A = (1, 2)$ , którego odległość od punktu $S$ jest większa od $5$ , poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $B$ i $C$ . Pole czworokąta $A B S C$ jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu $S$ . Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

Ta sama relacja czytana z dwóch stron: raz szukasz okręgu przy danej figurze, raz figury na danym okręgu. Środek wpisanego siedzi na dwusiecznej, wierzchołek opisanej — na symetralnej cięciwy.

16arkusz pokazowy CKE · marzec 2022 · zad. 9 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023ARKUSZ POKAZOWY

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkt $A = (9, 12)$ jest wierzchołkiem trójkąta $A B C$ . Prosta $k$ o równaniu $y = \frac{1}{2} x$ zawiera dwusieczną kąta $A B C$ tego trójkąta. Okrąg $O$ o równaniu $(x - 8)^{2} + (y - 4)^{2} = 16$ jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki $B$ i $C$ tego trójkąta z okręgiem $O$ . Zapisz obliczenia.

17matura · czerwiec 2025 · zad. 11 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $A B C D$ o wierzchołkach $A = (- 8, - 1)$ i $D = (- 13, 9)$ oraz środku symetrii $M = (- \frac{9}{2}, 1)$ . Okrąg $O$ przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki $A B$ i $B C$ tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu $O$ jest liczbą ujemną. Wyznacz równanie okręgu $O$ . Zapisz obliczenia.

18matura · maj 2018 · zad. 14 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $A = (7, - 1)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ . Obie współrzędne wierzchołka $C$ są liczbami ujemnymi. Okrąg wpisany w trójkąt $A B C$ ma równanie $x^{2} + y^{2} = 10$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

19matura · czerwiec 2018 · zad. 13 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Wierzchołki $A$ i $B$ trójkąta prostokątnego $A B C$ leżą na osi $O y$ układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków $A B$ , $B C$ i $C A$ w punktach – odpowiednio – $P = (0, 10)$ , $Q = (8, 6)$ i $R = (9, 13)$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $A$ , $B$ i $C$ tego trójkąta.

20matura · maj 2014 · zad. 8 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym $A = (0, 23)$ , $B = (2, 0)$ , a $C$ leży na osi $O x$ . Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek $E$ .

21matura · maj 2016 · zad. 13 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (30, 32)$ i $B = (0, 8)$ są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta $A B C D$ wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu $x - y + 2 = 0$ jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną $A C$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $C$ i $D$ tego czworokąta.

22informator maturalny CKE 2021 · zad. 23 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023INFORMATOR MATURALNY

Trapez $A B C D$ jest wpisany w okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 38 x + 22 y - 96 = 0.$ Wierzchołek $A$ trapezu ma obie współrzędne ujemne, a odcinek $A B$ jest dłuższą z podstaw tego trapezu. Przekątna $A C$ trapezu $A B C D$ jest zawarta w prostej o równaniu $y = x$ . Oblicz sinus kąta $A B C$ .

23matura · czerwiec 2023 · zad. 9 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W okrąg o równaniu $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ wpisano trójkąt $A B C$ . Bok $A B$ tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu $4 x - 3 y + 2 = 0$ . Wysokość $C D$ tego trójkąta dzieli bok $A B$ tak, że $∣ A D ∣ = 4 \cdot ∣ D B ∣$ . Oblicz pole trójkąta $A B C$ . Zapisz obliczenia.

Obiektem jest para. Wzajemne położenie rozstrzyga odległość środków zestawiona z sumą i różnicą promieni, a wspólną cięciwę dostajesz odejmując równania stronami.

24przykładowy arkusz CKE · grudzień 2014 · zad. 17 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015MATURA PRÓBNA CKE

Dany jest okrąg $o_{0}$ o równaniu $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ . W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi $o_{1}$ , $o_{2}$ styczne zewnętrznie do okręgu $o_{0}$ jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów $o_{1}$ oraz $o_{2}$ .

25matura · maj 2019 · zad. 11 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są okręgi o równaniach $x^{2} + y^{2} - 12 x - 8 y + 43 = 0$ i $x^{2} + y^{2} - 2 a x + 4 y + a^{2} - 77 = 0$ . Wyznacz wszystkie wartości parametru $a$ , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

26matura · czerwiec 2020 · zad. 12 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Prosta o równaniu $x + y - 10 = 0$ przecina okrąg o równaniu $x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 8 = 0$ w punktach $K$ i $L$ . Punkt $S$ jest środkiem cięciwy $K L$ . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu w jednokładności o środku $S$ i skali $k = - 3$ .

27matura · czerwiec 2022 · zad. 14 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są okrąg $o_{1}$ o równaniu $(x - 6)^{2} + (y - 4)^{2} = 98$ oraz okrąg $o_{2}$ o promieniu $25$ . Środki okręgów $o_{1}$ i $o_{2}$ leżą po różnych stronach prostej $k$ o równaniu $y = - 3 x - 6$ , a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej $k$ . Wyznacz równanie okręgu $o_{2}$ .

28matura · maj 2025 · zad. 8 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są okręgi $O_{1}$ oraz $O_{2}$ o równaniach: $O_{1} : (x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 5,$ $O_{2} : (x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 45.$ Te okręgi przecinają się w punktach $A$ oraz $B$ . Punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią. Punkt $M$ spełnia warunek $A M = - 2 \cdot B M$ . Oblicz współrzędne punktów $A$ , $B$ oraz $M$ . Zapisz obliczenia.

Trójkąt jest niewiadomą. Równoramienność sadza wierzchołek na symetralnej podstawy, pole zamienia się na wysokość przez odległość punktu od prostej.

29matura · maj 2010 · zad. 7 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Punkt $A = (- 2, 5)$ jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $B C$ jest zawarty w prostej o równaniu $y = x + 1$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ .

30matura · czerwiec 2016 · zad. 16 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkty $A = (- 7, - 2)$ i $B = (4, - 7)$ są wierzchołkami podstawy trójkąta równoramiennego $A B C$ , a wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $2 x + 19 y + 52 = 0$ . Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ .

31matura · maj 2022 · zad. 14 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $A = (- 3, 2)$ jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok $B C$ zawarty jest w prostej o równaniu $y = x - 1$ . Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

32test diagnostyczny CKE · grudzień 2024 · zad. 7 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023MATURA PRÓBNA CKE

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dane są: okrąg o równaniu $(x + 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 50$ i punkty $A = (6, 4)$ oraz $B = (- 6, 8)$ . Punkt $C$ leży na tym okręgu i $∣ A C ∣ = ∣ B C ∣$ . Oblicz współrzędne punktu $C$ . Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.

33matura · maj 2026 · zad. 9 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ punkty $A = (1, - 1)$ oraz $B = (4, 0)$ są wierzchołkami trójkąta $A BC$ , w którym $∣ C A ∣ = ∣ CB ∣$ . Jedno z ramion trójkąta $A BC$ zawiera się w prostej o równaniu $x + 2 y - 4 = 0$ . Na boku $A C$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$ , że $∣ A M ∣ : ∣ MC ∣ = 1 : 4$ .

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$ . Zapisz obliczenia.

Robotę robi symetria: środek symetrii oddaje wierzchołek przeciwległy, oś symetrii — odbicie, a w rombie prostopadłość przekątnych zamienia pole na iloczyn ich długości.

34matura · sierpień 2010 · zad. 10 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Punkt $A = (2, - 3)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu równym 300. Punkt $S = (3, 4)$ jest środkiem symetrii tego rombu. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

35matura · czerwiec 2011 · zad. 8 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁA

Punkty $A = (- 5, 5)$ , $C = (8, 6)$ są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego $A B C D$ , w którym $A B ∥ C D$ . Prosta o równaniu $y = 2 x$ jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $D$ oraz pole tego trapezu.

36matura · czerwiec 2019 · zad. 13 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $A = (- 2, 6)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu 90. Przekątna $B D$ zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2 x - y - 5 = 0$ . Wyznacz długość boku tego rombu.

37matura · lipiec 2020 · zad. 12 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Punkt $A = (- 2, 6)$ jest wierzchołkiem rombu $A B C D$ o polu równym $82, 5$ . Przekątna $B D$ tego rombu zawiera się w prostej $l$ o równaniu $2 x - y - 5 = 0$ . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.

38informator maturalny CKE 2021 · zad. 24 · 4 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023INFORMATOR MATURALNY

Czworokąt $A B C D$ jest równoległobokiem takim, że $B D = [- 21, - 7] i D C = [15, 8] .$ Oblicz pole tego równoległoboku.

Jedyny obiekt, w którym pracujesz na punkcie bieżącym zamiast na stałych współrzędnych. Styczność to zerowa delta po podstawieniu prostej, a pole trójkąta liczysz wyznacznikiem wektorów.

39matura próbna CKE · styczeń 2009 · zad. 3 · 5 pkt · KLUCZ CKE ✓STARA FORMUŁAMATURA PRÓBNA CKE

Jeden z końców odcinka leży na paraboli o równaniu $y = x^{2}$ , a drugi na prostej o równaniu $y = 2 x - 6$ . Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od $5$ . Sporządź odpowiedni rysunek.

40matura · maj 2021 · zad. 14 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2015

Dane są parabola o równaniu $y = x^{2}$ oraz punkty $A = (0, 2)$ i $B = (1, 3)$ (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty $A B C$ , których wierzchołek $C$ leży na tej paraboli. Niech $m$ oznacza pierwszą współrzędną punktu $C$ .

a) Wyznacz pole $P$ trójkąta $A B C$ jako funkcję zmiennej $m$ .
b) Wyznacz wszystkie wartości $m$ , dla których trójkąt $A B C$ jest ostrokątny.

[rysunek: parabola $y = x^{2}$ , punkty $A = (0, 2)$ , $B = (1, 3)$ ]

41test diagnostyczny CKE · grudzień 2022 · zad. 12 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023MATURA PRÓBNA CKE

Prosta $k$ o równaniu $x + y - 9 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{4}$ w punktach $A$ oraz $B$ . Pierwsza współrzędna punktu $A$ jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu $B$ jest liczbą ujemną. Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$ i styczna do danej paraboli w punkcie $C$ . Oblicz odległość punktu $C$ od prostej $k$ oraz pole trójkąta $A B C$ . Zapisz obliczenia.

42matura · maj 2023 · zad. 13 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta $l$ o równaniu $x - y - 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = 4 x^{2} - 7 x + 1$ w punktach $A$ oraz $B$ . Odcinek $A B$ jest średnicą okręgu $O$ . Punkt $C$ leży na okręgu $O$ nad prostą $l$ , a kąt $B A C$ jest ostry i ma miarę $α$ taką, że $tg α = \frac{1}{3}$ (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne punktu $C$ . Zapisz obliczenia.

[rysunek: parabola $y = 4 x^{2} - 7 x + 1$ , prosta $x - y - 2 = 0$ , okrąg $O$ z $A$ , $B$ , $C$ , kąt $α$ ]

43matura · czerwiec 2024 · zad. 11 · 6 pkt · KLUCZ CKE ✓FORMUŁA 2023

W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ prosta o równaniu $3 x + y + 2 = 0$ przecina parabolę o równaniu $y = x^{2} - 2 x - 8$ w punktach $A$ oraz $B$ , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku $A B C D$ . Wierzchołek $A$ ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek $C$ leży na prostej o równaniu $y = - \frac{1}{2} x + 1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu $C$ od prostej zawierającej bok $A B$ równoległoboku jest równa $\frac{9 10}{5}$ . Oblicz długość boku $B C$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Geometria analityczna – prosta, okrąg, parabola — zadania maturalne: Najpierw rysunek,
potem strategia

Zadania maturalne

Prosta i punkt

Okrąg — wyznaczanie równania

Styczna do okręgu

Okrąg a figura — wpisany i opisany

Dwa okręgi i jednokładność

Trójkąt — wierzchołki z warunków

Czworokąt — romb, trapez, równoległobok

Parabola — cięciwa, styczna, pole

Geometria analityczna – prosta, okrąg, parabola — zadania maturalne: Najpierw rysunek,potem strategia