Funkcja kwadratowa z parametrem

SKŁADOWE

Wzory Viète'a

Wzory Viète'a dla postaci ogólnej $f (x) = a x^{2} + b x + c$ pozwalają mówić o sumie i iloczynie miejsc zerowych przez iloraz współczynników tej postaci. Poniższe składowe to gotowe szkielety zapisu – nakładasz je na zadanie, zanim zaczniesz liczyć.

SKŁADOWAWzory Viète'a – wzory i wyprowadzenie

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

Skąd się biorą – wyprowadzenie z postaci iloczynowej

Jeśli $x_{1}, x_{2}$ są miejscami zerowymi, to postać ogólna i iloczynowa opisują tę samą funkcję – wymnażamy iloczynową:

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

= a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}

Porównujemy współczynnik przy $x$ i wyraz wolny:

b = - a (x_{1} + x_{2}) ⟹ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

c = a x_{1} x_{2} ⟹ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

SKŁADOWADelta i założenie wspólne

Delta

Δ = b^{2} - 4 a c

Rozstrzyga istnienie i liczbę pierwiastków;

Δ

wraca też w odległości:

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{Δ}{∣ a ∣}

Założenie wspólne – dwa różne pierwiastki rzeczywiste

{a \neq = 0 Δ > 0

Założenie to przyjmujemy w każdym przypadku poniżej, więc w warunkach na znaki i położenie nie powtarzamy już

Δ > 0

; współczynnik

a \neq = 0

wypisujemy jawnie tylko tam, gdzie parametr stoi przy

x^{2}

SKŁADOWAZnaki pierwiastków i wyrażenia symetryczne

Znaki pierwiastków

O znakach pierwiastków decydują znaki sumy i iloczynu:

Przypadek	Suma	Iloczyn
oba dodatnie	> 0	> 0
oba ujemne	< 0	> 0
ten sam znak	dowolna	> 0
różne znaki	dowolna	< 0

Wyrażenia symetryczne

Suma kwadratów

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

z kwadratu sumy

Suma sześcianów

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})

albo

(x_{1} + x_{2}) ((x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2})

ze wzoru

a^{3} + b^{3}

Suma czwartych potęg

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = ((x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2})^{2} - 2 (x_{1} x_{2})^{2}

z kwadratu sumy kwadratów

Kwadrat różnicy

(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}

kwadrat sumy minus poczwórny iloczyn; równoważnie

(x_{1} - x_{2})^{2} = \frac{Δ}{a ^{2}}

Moduł różnicy

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = \frac{Δ}{∣ a ∣}

pierwiastek z kwadratu różnicy – wzór na odległość pierwiastków

Suma odwrotności

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}

wspólny mianownik

Suma kwadratów odwrotności

\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}} = \frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} x _{2}}{( x _{1} x _{2} ) ^{2}}

licznik jak w sumie kwadratów

Składowa	Wzór przez $x_{1} + x_{2}$ i $x_{1} x_{2}$
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$	$(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$	$(x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$
$x_{1}^{4} + x_{2}^{4}$	$((x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2})^{2} - 2 (x_{1} x_{2})^{2}$
$(x_{1} - x_{2})^{2}$	$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = \frac{Δ}{a ^{2}}$
$∣ x_{1} - x_{2} ∣$	$(x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = \frac{Δ}{∣ a ∣}$
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$	$\frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$
$\frac{1}{x _{1}^{2}} + \frac{1}{x _{2}^{2}}$	$\frac{( x _{1} + x _{2} ) ^{2} - 2 x _{1} x _{2}}{( x _{1} x _{2} ) ^{2}}$

SKŁADOWAPołożenie pierwiastków względem progu t

Oba pierwiastki większe od t – sposób 1

Z $x_{1} > t, x_{2} > t$ liczby $x_{1} - t, x_{2} - t$ są dodatnie, więc ich suma i iloczyn też:

{(x_{1} - t) + (x_{2} - t) > 0 (x_{1} - t) (x_{2} - t) > 0 ⇓ {x_{1} + x_{2} > 2 t x_{1} x_{2} - t (x_{1} + x_{2}) + t^{2} > 0

Oba pierwiastki większe od t – sposób 2

Własności funkcji: wierzchołek na prawo od $t$ i znak $f (t)$ :

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{b}{2 a} > t a f (t) > 0

Oba pierwiastki mniejsze od t – sposób 1

Z $x_{1} < t, x_{2} < t$ liczby $x_{1} - t, x_{2} - t$ są ujemne, więc ich suma jest ujemna, a iloczyn dodatni:

{x_{1} + x_{2} < 2 t x_{1} x_{2} - t (x_{1} + x_{2}) + t^{2} > 0

Oba pierwiastki mniejsze od t – sposób 2

Wierzchołek na lewo od $t$ i znak $f (t)$ :

⎩ ⎨ ⎧ - \frac{b}{2 a} < t a f (t) > 0

a > 0

a < 0

OBA > t a > 0

a·f(t) > 0 ∧ p > tna rysunku f(t) > 0, bo a > 0 – iloczyn dodatni

OBA > t a < 0

a·f(t) > 0 ∧ p > tna rysunku f(t) < 0, bo a < 0 – iloczyn dodatni

OBA < t a > 0

a·f(t) > 0 ∧ p < tna rysunku f(t) > 0, bo a > 0 – iloczyn dodatni

OBA < t a < 0

a·f(t) > 0 ∧ p < tna rysunku f(t) < 0, bo a < 0 – iloczyn dodatni

t MIĘDZY a > 0

a·f(t) < 0na rysunku f(t) < 0, bo a > 0 – iloczyn ujemny

t MIĘDZY a < 0

a·f(t) < 0na rysunku f(t) > 0, bo a < 0 – iloczyn ujemny

Jeden próg $t$ : znak $a \cdot f (t)$ rozstrzyga, czy $t$ leży poza pierwiastkami (gdy $> 0$ ), czy między nimi (gdy $< 0$ ); wierzchołek $p$ wskazuje stronę. Reguła jest ta sama dla $a > 0$ i dla $a < 0$ .

SKŁADOWAPierwiastki po obu stronach progów t₁ i t₂

Jeden pierwiastek mniejszy od $t_{1}$ , drugi większy od $t_{2}$ (przy $t_{1} \leq t_{2}$ ): obie liczby $t_{1}, t_{2}$ leżą między pierwiastkami, więc

{a f (t_{1}) < 0 a f (t_{2}) < 0

(dla $t_{1} = t_{2} = t$ – pojedynczy próg między pierwiastkami: $a f (t) < 0$ ).

a > 0

a < 0

PO OBU STRONACH [t₁, t₂] a > 0

a·f(t₁) < 0 ∧ a·f(t₂) < 0na rysunku f(t₁), f(t₂) < 0, bo a > 0 – oba iloczyny ujemne

PO OBU STRONACH [t₁, t₂] a < 0

a·f(t₁) < 0 ∧ a·f(t₂) < 0na rysunku f(t₁), f(t₂) > 0, bo a < 0 – oba iloczyny ujemne

Dwa progi: skoro $t_{1}, t_{2}$ leżą między pierwiastkami, to $a f (t_{1}) < 0$ i $a f (t_{2}) < 0$ – niezależnie od znaku $a$ .

SKŁADOWAOba pierwiastki w przedziale (t₁, t₂)

Oba pierwiastki w $(t_{1}, t_{2})$ rozkładamy na dwa znane warunki jednoprogowe: $x_{1} > t_{1}$ i $x_{2} > t_{1}$ (oba większe od $t_{1}$ ) oraz $x_{1} < t_{2}$ i $x_{2} < t_{2}$ (oba mniejsze od $t_{2}$ ). Każdą parę tłumaczą wzory Viète'a – suma i iloczyn przesunięć:

Sposób 1 – wzory Viète'a

OBA WIĘKSZE OD

t_{1}

x_{1} > t_{1} \land x_{2} > t_{1}

{(x_{1} - t_{1}) + (x_{2} - t_{1}) > 0 (x_{1} - t_{1}) (x_{2} - t_{1}) > 0 ⇓ {x_{1} + x_{2} > 2 t_{1} x_{1} x_{2} - t_{1} (x_{1} + x_{2}) + t_{1}^{2} > 0

OBA MNIEJSZE OD

t_{2}

x_{1} < t_{2} \land x_{2} < t_{2}

{(x_{1} - t_{2}) + (x_{2} - t_{2}) < 0 (x_{1} - t_{2}) (x_{2} - t_{2}) > 0 ⇓ {x_{1} + x_{2} < 2 t_{2} x_{1} x_{2} - t_{2} (x_{1} + x_{2}) + t_{2}^{2} > 0

Razem koniunkcja czterech warunków (plus wspólne $Δ > 0$ ).

Sposób 2 – własności funkcji

Oba progi poza pierwiastkami (każdy ze swojej strony) i wierzchołek między progami:

⎩ ⎨ ⎧ a f (t_{1}) > 0 a f (t_{2}) > 0 t_{1} < - \frac{b}{2 a} < t_{2}

a > 0

a < 0

OBA W (t₁, t₂) a > 0

a·f(t₁) > 0 ∧ a·f(t₂) > 0 ∧ t₁ < p < t₂na rysunku f(t₁), f(t₂) > 0, bo a > 0

OBA W (t₁, t₂) a < 0

a·f(t₁) > 0 ∧ a·f(t₂) > 0 ∧ t₁ < p < t₂na rysunku f(t₁), f(t₂) < 0, bo a < 0

Przedział $(t_{1}, t_{2})$ : oba znaki $a f (t_{i})$ są dodatnie, a wierzchołek musi leżeć między progami – bez tego warunku pierwiastki mogłyby w całości uciec na jedną stronę.

METODA

Koniunkcja warunków

Tworzymy koniunkcję warunków. Każdy z warunków omawiamy za pomocą współczynników postaci ogólnej $a x^{2} + b x + c$ (zależnych od parametru). Rozwiązaniem zadania jest zbiór tych wartości parametru, dla których wszystkie warunki są spełnione jednocześnie.

Funkcja kwadratowa z parametrem — teoria i metoda: Funkcja kwadratowaz parametrem

Wzory Viète'a

Delta

Założenie wspólne – dwa różne pierwiastki rzeczywiste

Znaki pierwiastków

Wyrażenia symetryczne

Oba pierwiastki większe od t – sposób 1

Oba pierwiastki większe od t – sposób 2

Oba pierwiastki mniejsze od t – sposób 1

Oba pierwiastki mniejsze od t – sposób 2

Sposób 1 – wzory Viète'a

Sposób 2 – własności funkcji

Koniunkcja warunków

Funkcja kwadratowa z parametrem — teoria i metoda: Funkcja kwadratowa
z parametrem