Dowody geometryczne – trzy maszyny — zadania maturalne: Trzy wielkie maszyny
dowodów

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ o bokach długości $a$, $b$, $c$ i kątach $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+c^2-b^2}=\frac{\mathrm{tg}\beta }{\mathrm{tg}\alpha }$.

[rysunek: trójkąt $ABC$ z bokami $a,b,c$ i kątami $\alpha ,\beta ,\gamma$]

Wykaż, że jeżeli $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ są kątami wewnętrznymi trójkąta i ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta <{\sin }^2\gamma$, to $\cos \gamma <0$.

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ bok $AB$ ma długość $c$, długość boku $BC$ jest równa $a$ oraz $|\angle ABC|=\beta$. Dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ trójkąta w punkcie $E$. Wykaż, że długość odcinka $BE$ jest równa $\frac{2ac\cdot \cos \frac{\beta }{2}}{a+c}$.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym $|\angle ABC|=90^{\circ }$ oraz $|\angle CAB|=60^{\circ }$. Punkty $K$ i $L$ leżą na bokach – odpowiednio – $AB$ i $BC$ tak, że $|BK|=|BL|=1$ (zobacz rysunek). Odcinek $KL$ przecina wysokość $BD$ tego trójkąta w punkcie $N$, a ponadto $|AD|=2$. Wykaż, że $|ND|=\sqrt{3}+1$.

[rysunek: trójkąt prostokątny $ABC$ (kąt prosty przy $B$, $60^{\circ }$ przy $A$), wysokość $BD$, punkty $K$ na $AB$, $L$ na $BC$, $N$ na $BD$]

Dany jest trójkąt $ABC$, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta $ABC$ jest dwa razy większa od miary kąta $BAC$. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek $|AC{|}^2=|BC{|}^2+|AB|\cdot |BC|$.

Dany jest trójkąt równoboczny $ABC$. Na bokach $AB$ i $AC$ wybrano punkty – odpowiednio – $D$ i $E$ takie, że $|BD|=|AE|=\frac{1}{3}|AB|$. Odcinki $CD$ i $BE$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta $DBP$ jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta $ABC$.

[rysunek: trójkąt równoboczny $ABC$, $D$ na $AB$, $E$ na $AC$, przecięcie $CD$ i $BE$ w $P$]

Dany jest trójkąt $ABC$. Na boku $AB$ tego trójkąta obrano punkty $D$, $E$ i $F$ tak, że $|AD|=|DE|=|EF|=2|FB|$. Na bokach $AC$ i $BC$ obrano – odpowiednio – punkty $G$ i $H$ tak, że $DG\parallel EC$ oraz $FH\parallel EC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta $FBH$ jest równe $S$, to pole trójkąta $ADG$ jest równe $3S$.

[rysunek: trójkąt $ABC$, punkty $D,E,F$ na $AB$, $G$ na $AC$, $H$ na $BC$, $DG\parallel EC\parallel FH$]

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|BC|=a$. Z wierzchołka $B$ poprowadzono środkową $BD$ do boku $AC$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $BD$. Przez punkty $A$ i $S$ poprowadzono prostą, która przecięła bok $BC$ w punkcie $P$. Wykaż, że długość odcinka $CP$ jest równa $\frac{2}{3}a$.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Na ramieniu $AC$ tego trójkąta wybrano punkt $M$ ($M\ne A$ i $M\ne C$), a na ramieniu $BC$ wybrano punkt $N$, w taki sposób, że $|AM|=|CN|$. Przez punkty $M$ i $N$ poprowadzono proste prostopadłe do podstawy $AB$ tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty $S$ i $T$. Udowodnij, że $|ST|=\frac{1}{2}|AB|$.

Odcinek $CD$ jest wysokością trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Prosta $p$ jest prostopadła do boku $BC$ i przecina ten bok w punkcie $L$. Ta prosta przecina wysokość $CD$ w punkcie $K$ oraz przecina bok $AC$ w punkcie różnym od $A$.

Wykaż, że $|\sphericalangle CAK|=|\sphericalangle KDL|$.

Trójkąt $ABC$ jest wpisany w okrąg o środku $S$. Kąty wewnętrzne $CAB$, $ABC$ i $BCA$ tego trójkąta są równe, odpowiednio, $\alpha$, $2\alpha$ i $4\alpha$. Wykaż, że trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych $ASB$, $ASC$ i $BSC$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

W trójkącie $ABC$ kąt wewnętrzny przy wierzchołku $A$ ma miarę $50^{\circ }$, a kąt wewnętrzny przy wierzchołku $C$ ma miarę $60^{\circ }$. Okrąg $o_1$ przechodzi przez punkt $A$ i przecina boki $AB$ i $AC$ trójkąta odpowiednio w punktach $D$ i $E$. Okrąg $o_2$ przechodzi przez punkt $B$, przecina okrąg $o_1$ w punkcie $D$ oraz w punkcie $F$ leżącym wewnątrz trójkąta $ABC$. Ponadto okrąg $o_2$ przecina bok $BC$ trójkąta w punkcie $G$. Udowodnij, że na czworokącie $CEFG$ można opisać okrąg.

[rysunek: trójkąt $ABC$ (kąty $50^{\circ }$ przy $A$, $60^{\circ }$ przy $C$), dwa przecinające się okręgi $o_1$, $o_2$, punkty $D,E,F,G$]

Miary kątów trójkąta $ABC$ są równe $\alpha =|\angle BAC|$, $\beta =|\angle ABC|$ i $\gamma =|\angle ACB|$. Punkt $S$ jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a proste zawierające odcinki $AS$ i $BS$ przecinają boki $BC$ i $AC$ tego trójkąta w punktach odpowiednio $D$ i $E$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli $\alpha +\beta =2\gamma$, to na czworokącie $DCES$ można opisać okrąg.

[rysunek: trójkąt $ABC$ z kątami $\alpha ,\beta ,\gamma$, środek wpisanego $S$, punkty $D$ na $BC$, $E$ na $AC$]

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

[rysunek: trójkąt $ABC$ z punktami $K,L,M,N$ na/przy boku $AB$]

Dany jest okrąg $O$. Przez punkt $A$ poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – $P$ oraz $Q$. Przez punkt $B$ leżący na odcinku $AP$ poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie $D$, która przecięła odcinek $AQ$ w punkcie $C$ (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli $|AQ|=5\cdot |BP|$ oraz $|CD|=2\cdot |BD|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

[rysunek: okrąg $O$, styczne z $A$ w $P$ i $Q$; styczna przez $B$ w $D$, przecina $AQ$ w $C$ – okrąg jest wpisany w trójkąt $ABC$… a właściwie dopisany]

Okrąg $O$ jest styczny do boków $AC$ i $BC$ trójkąta $ABC$ oraz przecina bok $AB$ tego trójkąta w punktach $M$ oraz $N$, przy czym $0<|AM|<|AN|<|AB|$. Wykaż, że jeśli $|AM|=|BN|$, to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|=6$, a punkt $D$ jest środkiem podstawy $AB$. Okrąg o środku $D$ jest styczny do prostej $AC$ w punkcie $M$. Punkt $K$ leży na boku $AC$, punkt $L$ leży na boku $BC$, odcinek $KL$ jest styczny do rozważanego okręgu oraz $|KC|=|LC|=2$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}$.

[rysunek: trójkąt równoramienny $ABC$, okrąg o środku $D$ (środek $AB$), punkt styczności $M$ na $AC$, odcinek $KL$ styczny, $K$ na $AC$, $L$ na $BC$]

Trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu o promieniu $r$. Wykaż, że $4r^2=|AB|\cdot |CD|$.

O trapezie $ABCD$ wiadomo, że można w niego wpisać okrąg, a ponadto długości jego boków $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ – w podanej kolejności – tworzą ciąg geometryczny. Uzasadnij, że trapez $ABCD$ jest rombem.