Ciągi i układy równań – wprowadzenie: teoria i metoda

SKŁADOWE

Średnie i sprawdzenie

Trzy liczby, o których treść mówi „tworzą ciąg arytmetyczny” i „tworzą ciąg geometryczny” – to zawsze ten sam szkielet: układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Poniższe składowe to gotowe szkielety zapisu – nakładasz je na zadanie, zanim zaczniesz liczyć.

SKŁADOWAŚrednie trzech kolejnych wyrazów – i sprawdzenie własnościami

Ciąg arytmetyczny – średnia arytmetyczna

Trzy kolejne wyrazy $a, b, c$ ciągu arytmetycznego spełniają warunek średniej arytmetycznej:

b = \frac{a + c}{2} ⟺ 2 b = a + c

Skąd: $b = a + r$ , $c = a + 2 r$ , więc $a + c = 2 a + 2 r = 2 b$ .

Ciąg geometryczny – średnia geometryczna

Trzy kolejne wyrazy $a, b, c$ ciągu geometrycznego spełniają warunek średniej geometrycznej:

b^{2} = a \cdot c

Skąd: $b = a q$ , $c = a q^{2}$ , więc $a c = (a q)^{2} = b^{2}$ . Zapis przez kwadrat omija kłopot ze znakiem – znak sprawdzasz na końcu.

Własności jako sprawdzenie

Własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego – takie jak monotoniczność czy znak wyrazów – służą do sprawdzenia rozwiązania po wykonaniu obliczeń: z rozwiązań układu odrzucasz te, które łamią warunki z treści. Na przykład ciąg geometryczny wymaga wyrazów różnych od zera, ciąg rosnący – odpowiednio $r > 0$ albo $q > 1$ przy wyrazach dodatnich.

METODA

Układ trzech równań, trzy niewiadome

Tworzymy układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

1

Technika 1 – wyrazy odpowiadające

Jeśli trzy kolejne wyrazy jednego ciągu są trzema niekolejnymi wyrazami drugiego – jednej niewiadomej pozbywamy się, tworząc przyporządkowanie: przechodzimy na postać ogólną ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

Przykład z treści: trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego są odpowiednio 1., 2. i 4. wyrazem ciągu geometrycznego. Wtedy: $a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{1} q, a_{3} = b_{1} q^{3}$ Trzy niewiadome $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ wyrażamy przez dwie: $b_{1}, q$ – dalej operujemy już na $b_{1}, q$ i wchodzimy w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

POKAZ · MATURA · CZERWIEC 2020

W trójwyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ spełniona jest równość $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}$ . Wyrazy $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ są odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ .

1
PrzyporządkowaniePostać ogólna arytmetycznego $(x_{n})$ : $a_{1} = x_{1} + 3 r$ , $a_{2} = x_{1} + r$ , $a_{3} = x_{1}$ – trzy niewiadome schodzą do dwóch: $x_{1}, r$ .

2
Warunek geometryczny $a_{2}^{2} = a_{1} a_{3} \Rightarrow (x_{1} + r)^{2} = x_{1} (x_{1} + 3 r) \Rightarrow r^{2} = x_{1} r \Rightarrow x_{1} = r$ (bo $r \neq = 0$ , ciąg rosnący).

3
SumaWyrazy to $(4 r, 2 r, r)$ , więc $7 r = \frac{21}{4} \Rightarrow r = \frac{3}{4}$ .

$(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4})$
2

Technika 2 – skrócenie niewiadomych

Wchodzimy w układ trzech równań: dwie zależności liniowe i jedna kwadratowa, a każde równanie ma wszystkie trzy niewiadome. Trzeba zauważyć, że dwie niewiadome jednego równania skrócą się z dwiema niewiadomymi innego równania – po takim skróceniu poznajemy wartość jednej niewiadomej.

Klasyczny ruch: z $a + b + c = 21$ i $a + c = 2 b$ od razu $3 b = 21$ , czyli $b = 7$ . Znalezioną niewiadomą podstawiamy – i wchodzimy w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

POKAZ · MATURA · MAJ 2013

Ciąg liczbowy $(a, b, c)$ jest arytmetyczny i $a + b + c = 33$ , natomiast ciąg $(a - 1, b + 5, c + 19)$ jest geometryczny. Oblicz $a, b, c$ .

1
SkrócenieZ arytmetyczności $a + c = 2 b$ ; wstawione w sumę: $2 b + b = 33 \Rightarrow b = 11$ . Dwie niewiadome skróciły się – znamy $b$ .

2
PodstawienieZostaje $a + c = 22$ , czyli $c = 22 - a$ , oraz warunek geometryczny $(b + 5)^{2} = (a - 1) (c + 19) \Rightarrow 256 = (a - 1) (41 - a)$ .

3
Kwadratowe $a^{2} - 42 a + 297 = 0 \Rightarrow a = 9$ lub $a = 33$ ; odpowiednio $c = 13$ lub $c = - 11$ .

$(a, b, c) = (9, 11, 13)$ lub $(33, 11, - 11)$
3

Technika 3 – łańcuch podstawień

Dwa równania liniowe i jedno kwadratowe – jak wyżej – ale w jednym równaniu liniowym występują tylko dwie niewiadome. To umożliwia wyrażenie jednej przez drugą, np. $a \to b$ . Przechodzimy do drugiego równania liniowego: w miejsce $a$ wstawiamy wyrażenie z $b$ i wyrażamy $c$ przez $b$ . Mając $a \to b$ i $c \to b$ , wchodzimy w równanie kwadratowe – i otrzymujemy równanie kwadratowe z jedną niewiadomą $b$ .

Ilustracja łańcucha: z $a + b = 8$ bierzemy $a = 8 - b$ ; wstawione do $a + c = 2 b$ daje $c = 3 b - 8$ ; wtedy $b^{2} = a \cdot c$ to już równanie w samym $b$ .

POKAZ · MATURA · CZERWIEC 2023

Ciąg $(a, b, c)$ jest trójwyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg $(2 a, 2 b, c + 1)$ jest trójwyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto $c - b = 6$ . Oblicz $a, b, c$ .

1
Liniowe dwuniewiadomeZ $c - b = 6$ od razu $c = b + 6$ – początek łańcucha ( $c \to b$ ).

2
ŁańcuchArytmetyczność: $4 b = 2 a + (c + 1) = 2 a + b + 7 \Rightarrow a = \frac{3 b - 7}{2}$ ( $a \to b$ ).

3
Kwadratowe w b $b^{2} = a c = \frac{3 b - 7}{2} (b + 6) \Rightarrow b^{2} + 11 b - 42 = 0 \Rightarrow b = 3$ (wyrazy dodatnie). Stąd $a = 1$ , $c = 9$ .

$(a, b, c) = (1, 3, 9)$
4

Technika 4 – kwadratowe z parametrem

Mamy tylko jedno równanie liniowe i jedno kwadratowe. Pozbywamy się jednej niewiadomej z równania liniowego – zostaje równanie kwadratowe z dwiema niewiadomymi $a$ i $b$ . Traktujemy je jak równanie kwadratowe z parametrem (rzemiosło z tematu 1) i rozwiązujemy $a \to b$ albo $b \to a$ . Takie podejście umożliwia wyrażenie $q$ w ciągu geometrycznym.

Ilustracja: z $a + c = \frac{5}{2} b$ i $c = \frac{b ^{2}}{a}$ dostajemy $2 a^{2} - 5 ab + 2 b^{2} = 0$ ; jako kwadratowe w $a$ z parametrem $b$ : $Δ = 9 b^{2}$ , więc $a = 2 b$ lub $a = \frac{b}{2}$ – czyli $q = \frac{1}{2}$ lub $q = 2$ .

POKAZ · MATURA · MAJ 2019

Trójwyrazowy ciąg $(a, b, c)$ o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg $(\frac{1}{a}, \frac{2}{3 b}, \frac{1}{2 a + 2 b + c})$ jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

1
Eliminacja z liniowegoArytmetyczność $c = 2 b - a$ upraszcza mianownik: $2 a + 2 b + c = a + 4 b$ .

2
Warunek geometryczny $(\frac{2}{3 b})^{2} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{a + 4 b} \Rightarrow 4 a (a + 4 b) = 9 b^{2} \Rightarrow 4 a^{2} + 16 ab - 9 b^{2} = 0$ .

3
Kwadratowe z parametremWzględem $a$ z parametrem $b$ : $Δ = 256 b^{2} + 144 b^{2} = 400 b^{2}$ , więc $a = \frac{b}{2}$ (drugi pierwiastek ujemny – odpada).

4
Iloraz $q = \frac{\frac{2}{3 b}}{\frac{1}{a}} = \frac{2 a}{3 b} = \frac{1}{3}$ .

$q = \frac{1}{3}$
5

Technika 5 – odejmowanie równań kwadratowych

Mamy dwa równania kwadratowe i jedno liniowe. Ruch redukcyjny: odejmujemy równania kwadratowe stronami – wyrazy kwadratowe (jak $b^{2}$ i $a c$ ) się skracają i z dwóch kwadratowych powstaje nowa zależność liniowa. Układ spada do dwóch liniowych i jednego kwadratowego – kończymy Techniką 2 lub 3. Gdy oba kwadratowe są jednorodne, zamiast odejmować można podzielić stronami.

POKAZ · MATURA · MAJ 2012

Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby.

1
Trzy równania $b^{2} = a c$ [K], $2 (b + 8) = a + c$ [L], $(b + 8)^{2} = a (c + 64)$ [K] – dwa kwadratowe, jedno liniowe.

2
Odejmowanie kwadratowych $(b + 8)^{2} - b^{2} = a (c + 64) - a c \Rightarrow 16 b + 64 = 64 a \Rightarrow b = 4 a - 4$ – kwadraty się skróciły, mamy nową liniową.

3
StandardZ liniowego $c = 2 (b + 8) - a = 7 a + 8$ ; w $b^{2} = a c$ : $9 a^{2} - 40 a + 16 = 0 \Rightarrow a = 4$ lub $a = \frac{4}{9}$ .

$(4, 12, 36)$ lub $(\frac{4}{9}, - \frac{20}{9}, \frac{100}{9})$

Układ 3×3 – trzy liczby, dwa ciągi — teoria i metoda: Trzy liczby, dwa ciągi,jeden układ

Średnie i sprawdzenie

Ciąg arytmetyczny – średnia arytmetyczna

Ciąg geometryczny – średnia geometryczna

Własności jako sprawdzenie

Układ trzech równań, trzy niewiadome

POKAZ · MATURA · CZERWIEC 2020

POKAZ · MATURA · MAJ 2013

POKAZ · MATURA · CZERWIEC 2023

POKAZ · MATURA · MAJ 2019

POKAZ · MATURA · MAJ 2012

Układ 3×3 – trzy liczby, dwa ciągi — teoria i metoda: Trzy liczby, dwa ciągi,
jeden układ