Układ 3×3 – trzy liczby, dwa ciągi — zadania maturalne: Trzy liczby, dwa ciągi, jeden układ
Trzy liczby w ciągu arytmetycznym i geometrycznym – średnie trzech kolejnych wyrazów, układ trzech równań z trzema niewiadomymi i pięć technik redukcji do układu 2×2.
16zadań maturalnych
16z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Niewiadome to trzy liczby z treści. Zanim policzysz cokolwiek, zapisz układ trzech równań i oznacz każde tagiem [L] albo [K]; warunki „rosnący”, „malejący”, „wyrazy dodatnie”, „iloraz ≠ 1” odłóż na bok – to selektory gałęzi na sam koniec, nie równania. Zapis otagowanego układu to pierwszy krok każdego klucza.
Zakres: trzy kolejne wyrazy jednego ciągu jako niekolejne drugiego – przyporządkowanie po postaci ogólnej.
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym (a1,a2,a3) spełniona jest równość a1+a2+a3=421. Wyrazy a1,a2,a3 są odpowiednio – czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz a1.
ŚRODEK TO ŚREDNIA SĄSIADÓW
Arytmetyczność zapisz jako a1q=2a1q2+a1, a nie przez różnice.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWŁASNOŚĆ JEDNEGO Z CIĄGÓWa2=a1q i a3=a1q2 (albo a22=a1a3, albo suma a1+a1q+a1q2=421) — ALBO zapis arytmetyczności, np. b3=2b2+b4 czy różnicami.
2
2 PKTUKŁADa1+a1q+a1q2=421∧a1q=2a1q2+a1(albo równoważny układ z r).
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ2q2−3q+1=0
4
4 PKTILORAZ Z SELEKCJĄq=1 lub q=21; dla q=1 oba ciągi są stałe, a stały nie jest rosnący — zostaje q=21.
MAX 4 PKTCKENieodrzucenie a1=47 (z q=1) — albo błędy wyłącznie rachunkowe przy poprawnej strategii.
!
MAX 3 PKTCKEBłędny wzór na n-ty wyraz (np. a3=a1q3) użyty w rozwiązaniu. Odgadnięcie ilorazu i policzenie z niego a1 — tylko 1 pkt; mylenie własności ciągów albo sama odpowiedź a1=3 — zero.
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są – odpowiednio – pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oblicz x,y oraz z. Zapisz obliczenia.
IDŹ PRZEZ ILORAZ, NIE PRZEZ RÓŻNICĘ
Warunek 4(y−x)=z−y przy y=xq, z=xq2 oddaje q w jednym ruchu.
KLUCZ I · PRZEZ RÓŻNICĘ r
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJWŁASNA SKALA CKE
1
1 PKTJEDNO Z RÓWNAŃx+(x+r)+(x+5r)=105— ALBO(x+r)2=x(x+5r).
2
2 PKTWYRAZY PRZEZ rx=35−2r,y=35−r,z=35+3r
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ(35−r)2=(35−2r)(35+3r)— ALBO wyznaczenie r=3x z (x+r)2=x(x+5r).
4
4 PKTTRÓJKA — ODPOWIEDŹ7r2−105r=0 czyli r=0 (odpada: dawałoby x=y=z) lub r=15. Stąd x=5, y=20, z=80; ciąg (5,20,80) jest geometryczny i rosnący, suma 105.
!
MAX 3 PKTCKEPodzielenie obu stron przez wyrażenie z niewiadomą bez zapisania, że jest ono różne od zera.
!
MAX 2 PKTCKEBłąd nierachunkowy, np. 2a1+a1+5r⋅6=105 albo y−x=4(z−y) (odwrócona krotność), przy dokończeniu zadania.
x=5, y=20, z=80
KLUCZ II · PRZEZ ILORAZ q
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJWŁASNA SKALA CKE
1
1 PKTJEDNO Z RÓWNAŃ4(xq−x)=xq2−xq— ALBOx+xq+xq2=105.
2
2 PKTILORAZCiąg jest rosnący, więc x=0 i q=1; po podzieleniu przez x(q−1): q=4. (Klucz uznaje też sam układ obu równań.)
Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1, spełniają warunek a3+a5=10. Trzywyrazowy ciąg (2a1+4,a4−1,−81a7) jest geometryczny. Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
RÓWNOODLEGŁOŚĆ DAJE DWA RÓWNANIA ZA DARMO
a3+a5=2a4 oraz a1+a7=2a4 — dopiero trzecie równanie bierzesz z treści.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWŁASNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGOŚrodkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi skrajnych:(a4−1)2=−81a7⋅(2a1+4)
2
2 PKTUKŁAD Z DWIEMA NIEWIADOMYMIZ_warunku a3+a5=10 mamy a1=5−3r; podstawienie do poprzedniego związku daje równanie z_a1 i_r.
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄPo uproszczeniu (wyraz a4=5−3r+3r=4 nie zależy od r):16=−81(3r+5)(14−6r)⟺18r2−12r−198=0
4
4 PKTPIERWIASTKI RÓWNANIAStąd r=−3 lub r=311.
5
5 PKTODRZUCENIE I WYNIK — ODPOWIEDŹDla r=311 ciąg byłby rosnący, więc odpada. Dla r=−3 mamy a1=14 i_szukany ciąg geometryczny:(32,4,21)Brak odrzucenia drugiego przypadku ogranicza wynik do 4 punktów.
Zakres: komplet niewiadomych w każdym równaniu – skrócenie dwóch niewiadomych między równaniami.
Ciąg (a,b,c) jest geometryczny i a+b+c=26, zaś ciąg (a−5,b−4,c−11) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c.
Errata: w książce wydrukowano a+b+c=10; w oryginalnym arkuszu CKE jest 26.
ŚRODEK WYPADA BEZ DELTY
Z warunku arytmetycznego a+c=2b+8 i sumy 26 dostajesz b od ręki.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNO RÓWNANIE Z WŁASNOŚCIb2=acalbo2(b−4)=(a−5)+(c−11)alboa+aq+aq2=26
2
2 PKTPEŁNY UKŁAD RÓWNAŃ⎩⎨⎧b2=ac2(b−4)=(a−5)+(c−11)a+b+c=26Pomylenie własności któregokolwiek ciągu — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ.
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄa2−20a+36=0lubc2−20c+36=0lub3q2−10q+3=0Błąd redukujący równanie do mniej niż dwóch rozwiązań — 2 pkt za całość.
4
4 PKTWYNIK Z USTERKAMIOdrzucenie jednego z rozwiązań (np. dla q<1) i poprawna JEDNA trójka ALBO błąd rachunkowy i konsekwentny finał (o ile dwa pierwiastki) ALBO poprawny rachunek z błędną redakcją odpowiedzi: „a=2 lub a=18, b=6, c=18 lub c=2" bez sparowania trójek.
Ciąg (a,b,c) jest geometryczny. Ciąg (3a+3,2b,c−12) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a,b,c.
ODEJMIJ DWA WARUNKI STRONAMI
Po odjęciu zostaje 2b=6a+6, czyli b=3a+3.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNO RÓWNANIE Z WŁASNOŚCIb2=acalbo2⋅2b=(3a+3)+(c−12)albo(3a+3)+2b=c−12
2
2 PKTPEŁNY UKŁAD RÓWNAŃ⎩⎨⎧b2=ac4b=3a+c−93a+2b+15=c(równoważnie w niewiadomych a, q: a(q2−4q+3)=9 i a(q2−2q−3)=15).
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ(3a+3)2=a(9a+21)lubq2−7q+12=0
4
4 PKTWYNIK Z USTERKAMIRozwiązanie do końca z błędami rachunkowymi, które nie przekreślają poprawności.
5
5 PKTTRÓJKA — ODPOWIEDŹa=3,b=12,c=48
!
CKEWŁASNOŚCI I FAŁSZYWE qPomylenie własności któregokolwiek ciągu — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. W drodze przez iloraz: nieodrzucenie q=3 (dla którego układ jest sprzeczny: a⋅0=9) — 4 pkt.
Ciąg liczbowy (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33, natomiast ciąg (a−1,b+5,c+19) jest geometryczny. Oblicz a,b,c.
ARYTMETYCZNOŚĆ ZWIJA SUMĘ
Z a+c=2b suma 33 redukuje się do 3b=33, więc b=11.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNO RÓWNANIE Z WŁASNOŚCI CIĄGUa+c=2balbo(b+5)2=(a−1)(c+19)
2
2 PKTPEŁNY UKŁAD TRZECH RÓWNAŃ⎩⎨⎧a+b+c=33a+c=2b(b+5)2=(a−1)(c+19)
3
3 PKTRÓWNANIE KWADRATOWE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄa2−42a+297=0lubc2−2c−143=0(po b=11 i podstawieniu c=22−a).
4
4 PKTJEDNA TRÓJKA ALBO USTERKA RACHUNKOWAPoprawnie rozwiązana kwadratówka z odrzuceniem jednego rozwiązania i pełną drugą trójką ALBO błąd rachunkowy w redukcji i konsekwentne dokończenie (o ile równanie ma dwa pierwiastki).
CKEPOMIESZANE WŁASNOŚCI CIĄGÓWZastosowanie własności ciągu arytmetycznego do trójki geometrycznej (lub odwrotnie) — 0 pkt za całość. Odpowiedź bez sparowania trójek (a=33 lub a=9, b=11, c=−11 lub c=13) — sufit 4 pkt.
Liczby a,b,c są – odpowiednio – pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg (a−2,b,2c+1) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c.
SUMA ODDAJE ŚRODEK
Skoro a+b+c=27, to b=9 — zapisz a=9−r i c=9+r.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPARAMETRYZACJAa=b−rc=b+r
2
2 PKTWŁASNOŚCI OBU CIĄGÓWRównania z arytmetycznego i geometrycznego, np. a=b−r, c=b+r oraz b2=(a−2)(2c+1)
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ81=(7−r)(19+2r)(równoważnie 2c2−31c+65=0 albo — przez iloraz — 3q2−11q+6=0).
4
4 PKTKWADRATÓWKA ROZWIĄZANAr=4lubr=−213
5
5 PKTJEDEN ZESTAW LICZBa=5b=9, c=13 — ALBO drugi przypadek.
0 PKTCKEZERO ZA CAŁE ZADANIEPomylenie własności ciągu arytmetycznego z geometrycznym — albo odgadnięcie zestawu liczb, nawet ze sprawdzeniem warunków zadania.
Liczby a,b,c, spełniające warunek 3a+b+3c=77, są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg (a,b+1,2c) jest geometryczny. Wyznacz liczby a,b,c oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
TRZY RÓWNANIA, DWA LINIOWE
Warunek z treści, 2b=a+c oraz (b+1)2=a⋅2c.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTOZNACZENIA Z RÓŻNICĄ CIĄGUPrzy różnicy r: a=b−r oraz c=b+r.
2
2 PKTWYZNACZENIE ŚRODKOWEGO WYRAZUPodstawienie do warunku 3a+b+3c=77 daje 7b=77, czyli b=11.3(b−r)+b+3(b+r)=77
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄCiąg geometryczny to (11−r,12,22+2r), więc z_własności ciągu:122=(11−r)(22+2r)
4
4 PKTJEDEN Z PRZYPADKÓWRównanie ma dwa rozwiązania r=7 i_r=−7; czwarty punkt klucz przyznaje za wyznaczenie liczb tylko w_jednym przypadku albo za pominięcie wyrazów ciągu geometrycznego.
O liczbach a,b,c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+c=10, zaś ciąg (a+1,b+4,c+19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
ŚRODEK ZA DARMO, RESZTA Z ILOCZYNU
Z 2b=a+c=10 masz b=5, a dalej (b+4)2=(a+1)(c+19).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNO RÓWNANIE Z WŁASNOŚCI2b=a+calbo(b+4)2=(a+1)(c+19)
2
2 PKTPEŁNY UKŁAD RÓWNAŃ⎩⎨⎧2b=a+ca+c=10(b+4)2=(a+1)(c+19)(stąd od razu b=5).
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄa2−28a+52=0lubc2+8c−128=0lubr2+18r−63=0(ostatnie w drodze przez a i różnicę r: b=a+r, c=a+2r, a+r=5).
4
4 PKTWYNIK Z USTERKAMIPoprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawna JEDNA trójka ALBO błąd rachunkowy w przekształcaniu układu i konsekwentny finał (o ile równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste).
Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Jeśli do pierwszej z nich dodamy 5, do drugiej 3, a do trzeciej 4, to otrzymamy rosnący ciąg geometryczny, w którym trzeci wyraz jest cztery razy większy od pierwszego. Znajdź te liczby.
TRZY WARUNKI, TRZECI Z TREŚCI
2b=a+c, (b+3)2=(a+5)(c+4) oraz c+4=4(a+5).
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWARUNEK NA ILORAZTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest czterokrotnością pierwszego:aq2=4a⟹q=2lubq=−2
2
2 PKTODRZUCENIE UJEMNEGO ILORAZUDla q=−2 ciąg byłby naprzemienny, a_ma być rosnący — zostaje q=2 i_postać (a,2a,4a).
4
4 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄPo odjęciu dodanych liczb ciąg (a−5,2a−3,4a−4) ma być arytmetyczny:2(2a−3)=(a−5)+(4a−4)Klucz przeskakuje tu z_2 punktów na 4 — progu trzypunktowego nie ma.
5
5 PKTWYRAZY CIĄGU GEOMETRYCZNEGOZ_równania a=3, więc ciąg geometryczny to 3,6,12.
6
6 PKTSZUKANE LICZBY — ODPOWIEDŹOdejmując 5, 3 i_4 otrzymujemy ciąg arytmetyczny:−2,3,8Mylenie własności ciągu geometrycznego z_arytmetycznym klucz karze zerem za całe zadanie.
Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a,2b,c+1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c−b=6. Oblicz a,b oraz c. Zapisz obliczenia.
ZACZNIJ OD c = b + 6
Ten warunek eliminuje c i wszystko sprowadza się do jednego równania na a.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDEN Z WARUNKÓW2b=22a+c+1 (własność ciągu arytmetycznego) — ALBOb2=ac — ALBOaq2−aq=6.
2
2 PKTUKŁAD ALBO WYRAZY PRZEZ JEDNĄ ZMIENNĄb=32a+37,c=32a+325— ALBO pełny układ b2=ac, 2b=22a+c+1, c−b=6.
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ(32a+37)2=a(32a+325)
4
4 PKTROZWIĄZANIE RÓWNANIA(2a+7)2=a(6a+75) czyli 2a2+47a−49=0; Δ=2601, Δ=51, więc a=−249 lub a=1.
5
5 PKTWYBÓR I SPRAWDZENIE — ODPOWIEDŹWszystkie wyrazy są dodatnie, więc a=1, b=3, c=9. Sprawdzenie: (1,3,9) geometryczny o ilorazie 3, (2,6,10) arytmetyczny o różnicy 4.
!
MAX 4 PKTCKENieodrzucenie ujemnego a=−249 i podanie dwóch trójek liczb.
a=1, b=3, c=9
Zakres: jedno równanie liniowe i jedno kwadratowe – kwadratowe z parametrem wyraża q.
Trzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg (a1,3b2,2a+2b+c1) jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.
DWA ŚRODKI: ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY
2b=a+c oraz (3b2)2=a1⋅2a+2b+c1.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 4+2
1
+1 PKTETAP I · WŁASNOŚCI OBU CIĄGÓWb=2a+coraz(3b2)2=a1⋅2a+2b+c1
2
+2 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · RÓWNANIE Z DWIEMA NIEWIADOMYMI49(2a+c)2=a(3a+2c)(albo równoważne w a i r).
3
+3 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · GAŁĘZIE ROZWIĄZANE⇒9c2−14ac−39a2=0c=3alubc=−913a— ALBO równanie kwadratowe na iloraz ba czy ar.
4
+4 PKTETAP I (ŁĄCZNIE) · ZALEŻNOŚCI KOŃCOWEPo odrzuceniu gałęzi ujemnej (dodatniość wyrazów): c=3a i b=2a — ALBO równanie wprost na iloraz: 3q2+8q−3=0
5
+1 PKTETAP II · ILORAZ JAKO FUNKCJAq=a13b2=3b2a
6
+2 PKTETAP II (ŁĄCZNIE) · WYNIK — ODPOWIEDŹq=3⋅2a2a=31(z równania kwadratowego: q=−3 odpada).
!
MAX 5 PKTCKEWyłącznie błędy rachunkowe przy pełnej strategii. Błędna własność jednego z ciągów — sufit 4 pkt.
!
2 PKTCKEZERO ZA ETAP IRozwiązanie bez pełnego równania kwadratowego z dwiema niewiadomymi (istotne uproszczenie). Pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym — zero za całość (poza ewentualnym punktem za q=3b2a); q z konkretnych wartości — sufit 1 pkt.
q=31
Zakres: dwa równania kwadratowe i jedno liniowe – odejmowanie stronami skraca kwadraty.
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkie możliwości.
ZAPISZ OD RAZU a, aq, aq²
Wtedy geometryczność siedzi w samym zapisie i zostają dwa warunki.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTSTRUKTURY TRZECH CIĄGÓWZapisanie, że a, aq, aq2 to ciąg geometryczny, a, aq+8, aq2 — arytmetyczny, a a, aq+8, aq2+64 — znów geometryczny.
2
2 PKTUKŁAD RÓWNAŃ{2(aq+8)=a+aq2(aq+8)2=a(aq2+64)
4
4 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄq2+2q−15=0lub9a2−40a+16=0Progi SKACZĄ z 2 od razu na 4 — przejście przez układ to sedno zadania.
5
5 PKTWYNIK Z USTERKAMIBłędy rachunkowe w rozwiązywaniu równania kwadratowego i konsekwentnie podane dwa ciągi ALBO błąd w przekształcaniu układu i konsekwentny finał (o ile równanie ma dwa pierwiastki).
CKEWŁASNOŚCI I ZGUBIONE PIERWIASTKIPomylenie własności któregokolwiek ciągu — 0 pkt ZA CAŁOŚĆ. Błąd w przekształcaniu układu, po którym równanie ma mniej niż dwa rozwiązania — 2 pkt za całość.
(4,12,36) oraz (94,−920,9100)
Zakres: ciąg czterowyrazowy – poza pięcioma technikami.
Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Kwadrat największego wyrazu tego ciągu jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych wyrazów tego ciągu. Ponadto ciąg (a+100,b,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu (a,b,c,d).
PARAMETRYZUJ PRZEZ (a, r)
Podstaw b=a+r, c=a+2r, d=a+3r — zostaną dwa równania kwadratowe.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWARUNKI Z TREŚCIZapisanie obu zależności:d2=2(a2+b2+c2),b2=(a+100)⋅c
2
2 PKTPODSTAWIENIE WZORU NA WYRAZPrzy różnicy r: b=a+r, c=a+2r, d=a+3r, więc pierwszy warunek przyjmuje postać (a+3r)2=2(a2+(a+r)2+(a+2r)2).
3
3 PKTZWIĄZEK MIĘDZY a I rPo uporządkowaniu 5a2+6ar+r2=0, czyli (5a+r)(a+r)=0:a=−51rluba=−r
4
4 PKTODRZUCENIE PRZYPADKÓWDla a=−r drugi warunek daje r=0 lub r=100 — oba odpadają (ciąg ma być rosnący, a_dla r=100 ciąg (0,0,100) nie jest geometryczny). Dla a=−51r wychodzi r=180.
5
5 PKTWYRAZY CIĄGU — ODPOWIEDŹPrzy r=180:a=−36,b=144,c=324,d=504
Trzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny. Jeżeli w tym ciągu pomniejszymy trzeci wyraz o 4, a pozostałe wyrazy pozostawimy bez zmian, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Jeżeli drugi i trzeci wyraz tak otrzymanego ciągu arytmetycznego pomniejszymy o 1, to otrzymamy nowy ciąg geometryczny.
Oblicz x, y oraz z. Zapisz obliczenia.
ODEJMIJ WARUNKI GEOMETRYCZNE
Odjęcie y2=xz od (y−1)2=x(z−5) kasuje xz i zostawia zależność liniową.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTUKŁAD TRZECH WARUNKÓWy2=x⋅zorazy=2x+z−4oraz(y−1)2=x(z−5).
=
1 PKTTA SAMA WYSOKOŚĆ PROGU (INNE DROGI)Przez różnicę r ciągu (x,y,z−4): wyznaczenie x=r2−2r+1 albo układ (x+r)2=x(x+2r+4) i (x+r−1)2=x(x+2r−1) — ALBO przez iloraz q ciągu (x,y,z): x=(q−1)24.
2
2 PKTREDUKCJA DO DWÓCH NIEWIADOMYCHnp. y2=x(2y+4−x) oraz (y−1)2=x(2y−x−1) — ALBO równanie r2=4(r2−2r+1) — ALBO2q−51=(q−1)24.
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄZ (y−1)2=xz−5x i y2=xz wychodzi −2y+1=−5x, czyli y=25x+1, a stąd z=4x+5. Wtedy (25x+1)2=x(4x+5), czyli 9x2−10x+1=0 i x=1∨x=91. (Równoważnie: r=2 i r=32, albo q=3 i q=7.)
0 PKTCKEZERO ZA CAŁE ZADANIEMylenie ciągu geometrycznego z arytmetycznym.
!
MAX 3 PKTCKEPrzyjęcie y=x⋅z (gubi przypadek ujemny) — albo otrzymanie więcej niż dwóch trójek i nieodrzucenie tych zbędnych. Sprawdzenie obu trójek to nie ozdobnik, to czwarty punkt.