Planimetria – okręgi, trójkąty, cewiany — zadania maturalne: Konfiguracja otwiera,
silnik liczy

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$, w którym $|AC|=5$ i $|AB|=8$. Pole tego trójkąta jest równe $10\sqrt{3}$. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok $AC$, a długości dwóch pozostałych boków są równe $|AB|=30$ oraz $|BC|=17$. Oblicz miarę kąta $BAC$ oraz długość boku $AC$ tego trójkąta.

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt $ABC$. Długość boku $AB$ jest równa 6. Bok $BC$ ma długość $4\sqrt{3}$ i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku $AC$ trójkąta $ABC$. Zapisz obliczenia.

W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 15 i 20 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego wierzchołek kąta prostego tego trójkąta z punktem wspólnym okręgu i przeciwprostokątnej.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta $ABC$, który ma większą miarę.

Odcinek $CD$ jest zawarty w dwusiecznej kąta $ACB$ trójkąta $ABC$. Kąty trójkąta $ABC$ mają miary: $|\angle CAB|=42^{\circ }$, $|\angle ABC|=78^{\circ }$. Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie $C$ przecina prostą $AB$ w punkcie $E$ (zobacz rysunek). Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta $CDE$.

[rysunek: trójkąt $ABC$ wpisany w okrąg, dwusieczna $CD$, styczna w $C$ przecina $AB$ w $E$; zaznaczone $42^{\circ }$ przy $A$, $78^{\circ }$ przy $B$]

Dany jest trapez $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB|>|CD|$ oraz ramię $BC$ ma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu $R=5$. Miary kątów $BAC$ i $ABC$ tego trapezu spełniają warunek $\frac{\sin |\angle BAC|}{\sin |\angle ABC|}=\frac{5}{8}$. Oblicz pole i obwód trapezu $ABCD$. Zapisz obliczenia.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB|=2$, $|BC|=3$, $|CD|=4$, $|DA|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.

Trapez równoramienny $ABCD$ o ramieniu długości 6 wpisany jest w okrąg, przy czym dłuższa podstawa $AB$ trapezu, o długości 12, jest średnicą tego okręgu. Przekątne $AC$ i $BD$ trapezu przecinają się w punkcie $P$. Oblicz pole koła wpisanego w trójkąt $ABP$.

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu $R=5\sqrt{2}$. Przekątna $BD$ tego czworokąta ma długość 10. Kąty wewnętrzne $BAD$ i $ADC$ czworokąta $ABCD$ są ostre, a iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych jest równy $\frac{3}{8}$. Oblicz miary kątów wewnętrznych tego czworokąta.

Czworokąt wypukły $ABCD$ jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty $BAD$ i $BCD$ są proste (zobacz rysunek). Przekątne $AC$ i $BD$ tego czworokąta przecinają się w punkcie $E$ tak, że $|BE|=3\cdot |DE|$ oraz $|BD|=2\cdot |AE|$. Oblicz długości boków czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

[rysunek: czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg, przekątne przecinają się w $E$, kąty proste przy $A$ i $C$]

Na czworokącie wypukłym $ABCD$ o bokach długości: $|AB|=3$, $|BC|=3$, $|CD|=5$ oraz $|DA|=8$, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.

Pole czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg jest równe $18$. Boki $AB$ i $BC$ są prostopadłe, a ponadto $|AB|=4$ oraz $|BC|=7$.

Oblicz obwód tego czworokąta. Zapisz obliczenia.

Trapez prostokątny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$ jest opisany na okręgu. Ramię $BC$ ma długość 10, a ramię $AD$ jest wysokością trapezu. Podstawa $AB$ jest 2 razy dłuższa od podstawy $CD$. Oblicz pole tego trapezu.

Na okręgu jest opisany czworokąt $ABCD$. Bok $AD$ tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku $AB$, a przekątna $BD$ ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki: $$\cos (\angle ADB)=\frac{7}{8},|\angle BCD|=90^{\circ }\text{oraz}|AB|>\sqrt{15}.$$ Oblicz długość boku $BC$ tego czworokąta.

Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ }$, natomiast z bokiem $AB$ – kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$. Oblicz obwód czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

W czworokącie $ABCD$ są dane: $|AB|=9$, $|AD|=10$ oraz $|\sphericalangle BAD|=60^{\circ }$. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).

Oblicz długości boków $BC$ i $CD$ oraz pole czworokąta $ABCD$. Zapisz obliczenia.

[rysunek: czworokąt $ABCD$ z okręgiem wpisanym i okręgiem opisanym; $|AB|=9$, $|AD|=10$, kąt $60^{\circ }$ przy wierzchołku $A$]

Podstawa $AB$ trójkąta równoramiennego $ABC$ ma długość 8 oraz $|\angle BAC|=30^{\circ }$. Oblicz długość środkowej $AD$ tego trójkąta.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC|=17$ i $|BC|=10$. Na boku $AB$ leży punkt $D$ taki, że $|AD|:|DB|=3:4$ oraz $|DC|=10$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.