Granice ciągu – warsztat — zadania maturalne: Siedem technik
na każdą granicę

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(3n+2{)}^2-(1-2n{)}^2}{(2n-1{)}^2}.$$

Oblicz granicę $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{n-1}\right)}{\frac{1}{2}{n}^3-4n+7}$$ Zapisz obliczenia.

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4}\right).$$

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{9n^3+11n^2}{7n^3+5n^2+3n+1}-\frac{n^2}{3n^2+1}\right).$$

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{n^2}{n+2}-\frac{(n+2{)}^2}{n+444}\right).$$

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+3+5+7+\dots +(2n+1)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)}$$ gdzie $1+3+5+7+\dots +(2n+1)$ jest sumą kolejnych liczb naturalnych nieparzystych. Zapisz obliczenia.

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $$a_n=(n+5{)}^2\cdot \left(\frac{p+1}{(n+1)(n+2)}+\frac{2p+2}{(n+2)(n+3)}\right)\text{dla }n\ge 1.$$ Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$, dla których granica ciągu jest równa 12.

Ciąg $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wzorem $$a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p},$$ gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość $p$, dla której granica ciągu $(a_n)$ jest równa $\frac{4}{3}$.

Oblicz granicę $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{6^n+7^n}.$$