Zadania fraktalne — zadania maturalne: Wyjmij $a_1$ i $q$
z geometrii

Niech $P_n$ oznacza pole koła o promieniu $\frac{1}{2^n}$, dla $n\ge 1$. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu $(P_n)$.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów $(o_n)$ o równaniach $x^2+y^2=2^{11-n}$, $n\ge 1$. Niech $P_k$ będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem $o_{2k-1}$ i wewnętrznym okręgiem $o_{2k}$. Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni $P_k$, gdzie $k\ge 1$.

Określamy kwadraty $K_1$, $K_2$, $K_3$, $\dots$ następująco:

• $K_1$ jest kwadratem o boku długości $a$
• $K_2$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_1$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$
• $K_3$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_2$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n\ge 2$,

• $K_n$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.