Układy w parametrach (a₁, r) / (a₁, q) — zadania maturalne: Każdy warunek przetłumacz na parametry
Arytmetyczny mówi językiem (a1,r), geometryczny i szereg – (a1,q). Słownik dwunastu składowych zamienia każde zdanie treści w równanie; monotoniczność i zbieżność czekają na końcu jako selektory.
11zadań maturalnych
11z pełnym kluczem
ZADANIA
Zadania maturalne
Zanim policzysz: przetłumacz każdy warunek treści na parametry – arytmetyczny na (a1,r), geometryczny i szereg na (a1,q) – i zapisz układ (zwykle 2×2; przy dwóch sprzężonych ciągach cztery niewiadome i warunki krzyżowe). Monotoniczność, znaki i ∣q∣<1 odłóż jako selektory na koniec. Przetłumaczony układ to pierwszy krok każdego klucza. Każde zadanie ma pełny klucz punktowania CKE — z progami i wynikiem.
Zakres: wyrazy, zależności i sumy – każda informacja prosto z puli, wszystko w a1,r.
4 PKTWYNIK Z USTERKAMIPoprawne pierwiastki, błąd rachunkowy w oszacowaniu 67+48337 i konsekwentna odpowiedź (o ile n≥1) ALBO błąd w przekształcaniu nierówności i konsekwentny finał (o ile trójmian ma dwa pierwiastki, a wynik jest całkowity dodatni).
5
5 PKTNAJWIĘKSZE n — ODPOWIEDŹ67+48337≈37,81⇒n=37
+
CKEPRZYPIS · METODA PRÓB I BŁĘDÓW (Z KLUCZA)Sprawdzenie, że n=37 spełnia nierówność (S37=1924<2012) ORAZ że n=38 jej nie spełnia (S38=2033) — pełne 5 pkt. Samo jedno sprawdzenie nie wystarcza.
W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.
BILANS DNIA TO TRÓJMIAN W n
Po n dniach stan to M(n)=n2−26n+k=(n−13)2+k−169.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 1+1+2+1
1
+1 PKTETAP I · ROZPOZNANIE CIĄGU ARYTMETYCZNEGOLiczby monet wkładanych w kolejne dni tworzą ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie 25 i różnicy 2.
2
+1 PKTETAP II · STAN SKARBCA PO n DNIACHM(n)=k+225+(25+2(n−1))⋅n−50n=n2−26n+k
3
+2 PKTETAP III · WARUNEK I NAJMNIEJSZE kM(n)=(n−13)2+k−169>0⇒kmin=170(równoważnie Δ<0, bo n∈N: 262−4k<0, stąd k>169). Wewnątrz czynności: 1 pkt za sam warunek wystarczający bez wyznaczenia najmniejszego k lub z błędami.
4
+1 PKTETAP IV · DZIEŃ NAJMNIEJSZEGO ZAPASUn=13(odcięta wierzchołka trójmianu M).
k=170; najmniej monet w dniu n=13
Zakres: wyrazy, zależności, sumy skończone i podziały po indeksach – wszystko w a1,q.
Ciąg (x−3,x+3,6x+2,…) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że S20S19<41, gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.
WŁASNOŚĆ ŚRODKOWEGO WYRAZU
Z (x+3)2=(x−3)(6x+2) wyznaczasz x, a dodatniość wyrazów wybiera gałąź.
KLUCZ
SUMA ETAPÓW 1+1+1+1+2
1
+1 PKTETAP I · RÓWNANIE Z WŁASNOŚCI CIĄGU(x+3)2=(x−3)(6x+2)
2
+1 PKTETAP II · RÓWNANIE KWADRATOWE ROZWIĄZANE5x2−22x−15=0⇒x=−53∨x=5
3
+1 PKTETAP III · WYBÓR x — WYRAZY DODATNIEx=5(dla x=−53 pierwszy wyraz x−3<0 — sprzeczność z treścią).
4
+1 PKTETAP IV · ILORAZ CIĄGUq=x−3x+3=28=4
5
+2 PKTETAP V · OSZACOWANIE ILORAZU SUMS20S19=420−1419−1<41⟺4(419−1)<420−1⟺−3<0Wewnątrz czynności: 1 pkt za zapis ilorazu S20S19=420−1419−1 w postaci umożliwiającej oszacowanie.
Wyrazy ciągu geometrycznego (an) określonego dla n≥1 spełniają układ równań {a3+a6=−84a4+a7=168 Wyznacz liczbę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma Sn jest równa 32769.
PODZIEL RÓWNANIA STRONAMI
Iloraz a3+a6a4+a7 redukuje się do samego q.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTUKŁAD RÓWNAŃa1q2+a1q5=−84∧a1q3+a1q6=168(równoważnie z niewiadomymi q, a3, a6: a3+a6=−84 i q(a3+a6)=168).
2
2 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄPo podzieleniu stronami (z komentarzem, że dzielenie jest wykonalne): q=−2
MAX 2 PKTCKEq=−2 zapisane bez rozwiązania układu ani uzasadnienia — albo poprawna strategia z takim błędem w a1 lub q, że równanie na n nie ma rozwiązania naturalnego.
!
MAX 3 PKTCKEPrzejście −(−2)n=2n bez komentarza o nieparzystości wykładnika.
Ciąg geometryczny (an) ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych oraz loga1+loga2+…+loga100=100. Oblicz a1.
PARZYSTE TO NIEPARZYSTE RAZY q
Skoro a2=qa1, a4=qa3, …, to warunek o sumach oddaje q natychmiast.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTJEDNA Z TRZECH OBSERWACJIPodciągi wyrazów nieparzystych i parzystych są geometryczne o wspólnym ilorazie q2ALBOa2+a4+⋯+a100=q(a1+a3+⋯+a99)ALBO zamiana sumy logarytmów: a1a2⋯a100=10100.
2
2 PKTRÓWNANIE WIĄŻĄCE a1 I qa1⋅1−q21−(q2)50=100⋅a1q⋅1−q21−(q2)50ALBOa1⋅a1q⋯a1q99=10100. UWAGA (KLUCZ): samo q=1001 i poprzestanie — 3 pkt. Progi skaczą z 2 od razu na 4.
4
4 PKTRÓWNANIE Z SAMYM a1a1100⋅q1+2+⋯+99=10100przyq=1001
5
5 PKTWYKŁADNIK ZWINIĘTYa1100⋅(1001)299⋅100=10100i na tym poprzestanie.
6
6 PKTPIERWSZY WYRAZ — ODPOWIEDŹa1=10100
a1=10100
Zakres: ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu – informacje wiążą parametry obu ciągów, układ w a1,r i a1,q naraz (w tym szereg ∣q∣<1).
Ciąg (an) jest arytmetyczny, a ciąg (bn) jest geometryczny. Pierwszy wyraz a1 ciągu arytmetycznego jest ilorazem ciągu geometrycznego (bn). Wyrazy ciągu (an) są liczbami całkowitymi, a suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 124. Natomiast pierwszy wyraz b1 ciągu geometrycznego jest różnicą ciągu arytmetycznego (an). Suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (bn) jest równa 18. Wyznacz te ciągi.
RÓŻNICA JEDNEGO CIĄGU JEST WYRAZEM DRUGIEGO
Oznacz q=a1 oraz r=b1 — oba warunki zapiszesz w tych dwóch literach.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTPARAMETRYZACJAKolejne wyrazy obu ciągów przez r i q: arytmetyczny q,q+r,q+2r,…, geometryczny r,rq,rq2,… — ALBO koniunkcja 2a1+a8⋅8=124 i b11−q1−q2=18.
2
2 PKTUKŁAD RÓWNAŃr+rq=18∧22q+7r⋅8=124
3
3 PKTKWADRATÓWKA Z JEDNĄ NIEWIADOMĄ7r2−33r+36=0albo2q2−29q+95=0
4
4 PKTPRAWIE KOMPLETObie pary wyznaczone, ale bez odrzucenia (r=712,q=219) — ALBO błąd rachunkowy z konsekwentnym dokończeniem.
5
5 PKTCIĄGI — ODPOWIEDŹan=3n+2bn=3⋅5n−1(arytmetyczny: pierwszy wyraz 5, różnica 3; geometryczny: pierwszy wyraz 3, iloraz 5).
!
CKEFILTR CAŁKOWITOŚCIWarunek „wyrazy ciągu (an) są całkowite” to część treści: zostawienie obu par kończy na progu 4.
Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a1=675 i a22=45a23+51a21. Ciąg (bn), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (an) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (bn). Ponadto a3=b4. Oblicz b1.
NAJPIERW ILORAZ, POTEM MOST
Podziel warunek przez a21 — zostanie równanie kwadratowe na q.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTILORAZ ALBO JEDEN MOST45q2−q+51=0⇒q=52— ALBO zapisanie b1+3r=b4 — ALBO wzoru S25=22b1+24r⋅25.
2
2 PKTRÓWNANIE Z b1 I rJedno z równań układu, np. b1+3r=108 albo 1125=22b1+24r⋅25 — ALBO wzór na S25 razem z b1+3r=b4.
3
3 PKTUKŁAD DWÓCH RÓWNAŃb1+3r=108∧1125=22b1+24r⋅25Po drodze: S=1−52675=1125 oraz a3=675⋅(52)2=108.
4
4 PKTWYNIK — ODPOWIEDŹZ układu r=−7 i b1=108−3⋅(−7)=129.
!
0 PKTCKEZERO ZA CAŁE ZADANIEMylenie własności ciągu arytmetycznego z geometrycznym.
!
MAX 3 PKTCKERozpatrywanie q=0 bez odrzucenia tej wartości w odpowiedzi — albo (przy błędnym q ze zbioru (−1,0)∪(0,1)) błąd wyłącznie rachunkowy; błąd rzeczowy przy takim q ścina do 2 pkt, a q spoza (−1,1) — do 1 pkt.
Ciąg (an), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a6=15 oraz a15=a3⋅(a8−6). Ciąg (bn), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b1=a11 oraz b2=a6. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (bn). Zapisz obliczenia.
WSZYSTKO PRZEZ a₆ I r
Wyraź a3, a8, a15 przez a6=15 i r — warunek zwinie się do kwadratowego.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTUKŁAD NA a1 I ra1+14r=(a1+2r)(a1+7r−6) oraz a1+5r=15 — równoważnie od razu w języku a6 i r.
2
2 PKTJEDNA NIEWIADOMA15+9r=(15−3r)(15+2r−6)
3
3 PKTRÓŻNICA WYBRANAr2+r−20=0⇒r∈{−5,4} ciąg rosnący odrzuca r=−5, więc r=4 (odrzucenie wolno zrobić bez komentarza).
Dany jest ciąg arytmetyczny (an) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy (−2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą – w podanej kolejności – ciąg geometryczny.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an). Zapisz obliczenia.
KWADRAT ŚRODKOWEGO = ILOCZYN SKRAJNYCH
Zapisz a32=a2⋅a6 i pamiętaj, że odrzucenie złej różnicy trzeba uzasadnić.
KLUCZ I · PRZEZ RÓŻNICĘ r
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄa2=1+ra3=1+2r, a6=1+5r, więc z własności ciągu geometrycznego (1+2r)2=(1+r)(1+5r).
2
2 PKTRÓŻNICA0=2r+r2=r(2+r) czyli r=0 lub r=−2. Dla r=0 warunki zadania nie są spełnione (pierwszy i ostatni wyraz musiałyby być równe), więc r=−2 — i wtedy (−1,−3,−9) faktycznie jest geometryczny.
3
3 PKTLICZBA WYRAZÓW−2025=1+(n−1)⋅(−2) stąd n=1014.
0 PKTCKEZERO ZA CAŁE ZADANIEMylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym — albo przyjęcie r=−2 bez żadnego uzasadnienia i oparcie na tym rozwiązania.
!
MAX 2 PKTCKESprawdzenie rachunkiem, że r=−2 spełnia warunki, ale brak uzasadnienia, że to jedyna taka wartość. Tak samo: błędny wzór na n-ty wyraz.
!
MAX 2 PKTCKEBEZ PUNKTU ZA SUMĘBłędy rachunkowe dające n, które nie jest liczbą naturalną. Punktu za sumę wtedy nie ma.
S1014=−1026168
KLUCZ II · PRZEZ ILORAZ q
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJTA SAMA SKALA
1
1 PKTRÓWNANIE NA qCiąg arytmetyczny jest malejący, więc (a2,a3,a6) nie jest stały: q=1, a2=0. Z 3(a3−a2)=a6−a3 dostajesz 3q−3=q2−q.
2
2 PKTILORAZ I DRUGI WYRAZ0=a2(q2−4q+3) czyli q=1 lub q=3; q=1 odpada, więc q=3. Z własności ciągu arytmetycznego 2a1+a3=a2, czyli 21+3a2=a2, więc a2=−1 i r=−2.
3
3 PKTLICZBA WYRAZÓW−2025=1+(n−1)⋅(−2) stąd n=1014.
Dany jest rosnący ciąg geometryczny (a,aq,aq2), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.
TO RÓWNANIE DIOFANTYCZNE W PRZEBRANIU
Arytmetyczność daje a(q−1)2=4, a całkowitość i nieparzystość dobijają resztę.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWŁASNOŚĆ ARYTMETYCZNEGOaq=2a+(aq2−4)
2
2 PKTILOCZYN CAŁKOWITY = LICZBAa(q−1)2=4
3
3 PKTROZKŁAD CZWÓRKIZ nieparzystości a i całkowitości: a=1 oraz (q−1)2=4, stąd q=3 lub q=−1 (drugie odpada — ciąg ma być rosnący).
Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (an), określonego dla każdej liczby naturalnej n⩾1, spełniają warunek a3+a5=10.
Trzywyrazowy ciąg (2a1+4,a4−1,−81a7) jest geometryczny.
Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.
NAJPIERW a₄, POTEM b² = ac
Z a3+a5=2a4=10 masz a4=5, więc wszystko zależy już tylko od r.
KLUCZ
NAJDALSZY PRÓG · NIE SUMUJ
1
1 PKTWŁASNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGOŚrodkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi skrajnych:(a4−1)2=−81a7⋅(2a1+4)
2
2 PKTUKŁAD Z DWIEMA NIEWIADOMYMIZ_warunku a3+a5=10 mamy a1=5−3r; podstawienie do poprzedniego związku daje równanie z_a1 i_r.
3
3 PKTRÓWNANIE Z JEDNĄ NIEWIADOMĄPo uproszczeniu (wyraz a4=5−3r+3r=4 nie zależy od r):16=−81(3r+5)(14−6r)⟺18r2−12r−198=0
4
4 PKTPIERWIASTKI RÓWNANIAStąd r=−3 lub r=311.
5
5 PKTODRZUCENIE I WYNIK — ODPOWIEDŹDla r=311 ciąg byłby rosnący, więc odpada. Dla r=−3 mamy a1=14 i_szukany ciąg geometryczny:(32,4,21)Brak odrzucenia drugiego przypadku ogranicza wynik do 4 punktów.